suma dwóch liczb całkowitych

[Christofanow]

Witam!

Wykaż, że jeżeli liczba \(\displaystyle{ \Phi}\) jest sumą dwóch liczba całkowitych to liczba \(\displaystyle{ 5 \Phi}\) ma tę samą cechę.
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 5 \Phi = \varphi^2 + \sigma^2 = (2\varphi - \sigma)^2+(\varphi + 2 \sigma)^2 = 5(\varphi^2 + \sigma^2)}\)
To zadanie z popularnego zbioru zadań dla maturzystów pojawiło się na tym forum kilka razy. Powyższe rozwiązanie pojawia się niemal za każdym razem. Problem mój w tym, że polega ono na zaobserwowaniu tego, że liczbę \(\displaystyle{ 5}\) można przestawić jako sumę kwadratów liczb naturalnych, jednoznacznie tj. \(\displaystyle{ 5 = 1 + 2^2}\). Czy można to zadanie rozwiązać mniej finezyjnie ale prościej? Bo mam problem z poczynieniem takich trafnych obserwacji w takich zadaniach.

Pozdrawiam i dziękuję za odzewa

[bakala12]

Wykaż, że jeżeli liczba \(\displaystyle{ \Phi}\) jest sumą dwóch liczba całkowitych to liczba \(\displaystyle{ 5 \Phi}\) ma tę samą cechę.

Chodziło o to że ma być sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

Czy można to zadanie rozwiązać mniej finezyjnie ale prościej? Bo mam problem z poczynieniem takich trafnych obserwacji w takich zadaniach.

Szczerze wątpię. Przynajmniej na pewno nie da się tego zrobić inaczej, ale w elementarny sposób.

[Ponewor]

No cóż, rozkładu piątki znać nie musimy. Wystarczy nam wiedzieć, że jest liczbą pierwszą postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\), oraz że wszystkie takie liczby mają jakiś zadany rozkład. Ponadto wystarczy wiedzieć, że iloczyn dowolnej ilości liczb o zadanym rozkładzie jest liczbą o zadanym rozkładzie.