zabawa z liczbami wymiernymi...

[kustosz_9a7b]

Witam, oglądając wykłady o analizie mat, ofc musiałem przejsc przez etap liczb wymiernych i niewymiernych.

Podany był tam dowód, zakładający, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{p}{q}}\)
przy założeniach, że
1. \(\displaystyle{ p \neq q}\)
2. \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) to liczby pierwsze
3. nie dzielą się przez \(\displaystyle{ 2, 3}\)

tutaj pojawia się moje pierwsze pytanie.
Założenie 2 jest logiczne, chodzi o wyeliminowanie wspólnych dzielników, lecz założenie 3 wyeliminowuje liczbę \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) z grona liczb "dostępnych liczb" (no chyba, że chodzi o to, że jedna liczba \(\displaystyle{ \frac{p}{q} \neq 2}\) lub o to by wyeliminować, liczby parzyste, ale te już są wyeliminowane przez 2 założenie)

i teraz drugie pytanie
\(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{p}{q} \\
2 = \frac{p^{2}}{q^{2}} \\
p^{2} = 2q^{2}}\)
więc \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą parzystą

\(\displaystyle{ p = 2r\\
p^{2} = 2q^{2}\\
4r^{2} = 2q^{2}\\
q^{2} = 2r^{2}}\)
więc \(\displaystyle{ q}\) jest liczbą parzystą

\(\displaystyle{ q = \sqrt{2}r}\)

(można by tutaj powiedzieć, że skoro \(\displaystyle{ q^2}\) jest parzyste to \(\displaystyle{ q}\) jest parzyste, a skoro \(\displaystyle{ q}\) równa się \(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot r}\) to tylko \(\displaystyle{ r}\) może być parzyste. Więc \(\displaystyle{ r = 2a, p = 2 \cdot 2a, q = \sqrt{2} \cdot 2a}\) ?? i a może być dowolną liczbą parzystą i nieparzystą... )

\(\displaystyle{ 2 = \frac {p^{2}} {q^{2}} \\
2 = \frac {4 r^{2}} {2 r^{2}}\\
2 = \frac {4} {2} \\
2 = 2}\)

lub (jak kto woli, na jedno wychodzi)
\(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{p}{q} \\
\sqrt{2} = \frac{2r}{\sqrt{2}r} \\
\sqrt{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} \\
\sqrt{2} = \frac{2}{2} \sqrt{2} \\
\sqrt{2} = \sqrt{2}}\)

Głównie chodzi mi o to, że udało się podporządkować \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) pod zmienna \(\displaystyle{ r}\), która następnie udało się skrócić...

Gdzieś tutaj wkradł mi się błąd logiczny, nie wiem gdzie (podejrzewam, iż chodzi o pierwsze założone równanie \(\displaystyle{ \sqrt {2} = \frac{p}{q}}\), tj jeżeli założyłem, że będzie to prawda) i nie umiem wyjaśnić co właśnie przed chwilą zrobiłem wiem, że to wyrażenie zwraca wartość prawda.

Pomóżcie to zinterpretować jakoś nazwać i odkryć błąd logiczny oraz wyjaśnić 3 założenie, że \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) nie są podzielne przez dwa.

[Jan Kraszewski]

Chaos straszny jest w tym, co piszesz.

Zapewne chcesz dowieść nie wprost niewymierności liczby \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Jeśli tak, to oczywiście założenie

1. \(\displaystyle{ p \neq q}\)
2. \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) to liczby pierwsze
3. nie dzielą się przez \(\displaystyle{ 2, 3}\)

jest niepoprawne. Zakłada się wyłącznie, że \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są względnie pierwsze oraz że \(\displaystyle{ q\neq 0}\).

To, co piszesz dalej, jest nawet trudne do skomentowania. Skąd Ty wytrzasnąłeś ten "dowód"?

JK

[kustosz_9a7b]

szczerze, to tylko dowód do punktu w którym pisze, że \(\displaystyle{ q}\) jest liczbą parzystą.
Dalej po prostu bawiłem się tym równaniem i wyszło mi, na końcu zabawy, że równość \(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{p}{q}}\) jest prawdziwa (\(\displaystyle{ \sqrt{2} = \sqrt{2}}\)) i zastanawiałem się dlaczego, skoro "matematyka" w tym dowodzie miała udowodnić coś przeciwnego (wiem założenia... ale i te jak by ktoś wyjaśnił byłbym wdzięczny... te właściwe założenia a nie te które ja podałem) . Stąd też spisałem wszystko tutaj w nadziei, że ktoś mi to wyjaśni.

p.s. w orginalnych założeniach, było powiedziane, że \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) jednocześnie nie sa parzyste

[Vardamir]

p.s. w orginalnych założeniach, było powiedziane, że \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) jednocześnie nie sa parzyste

Jak powiedział Jan Kraszewski, wystarczy założyć że są względnie pierwsze. To automatycznie wyeliminuje taki przypadek.

Jeśli pokażesz, że \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są parzyste to otrzymasz sprzeczność właśnie z tym założeniem.