Czy pierwiastek z 1/5 to liczba niewymierna

marek95 · Post autor: **marek95** » 23 cze 2013, o 15:05

Witam
Mam pytanie czy pierwiastek z \(\displaystyle{ \frac15}\) to liczba niewymierna ?
Proszę o odpowiedź.

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 23 cze 2013, o 15:08

Tak jest to liczba niewymierna. Potrzebny dowód?

Christofanow · Post autor: **Christofanow** » 27 cze 2013, o 14:54

bakala12 pisze:Tak jest to liczba niewymierna. Potrzebny dowód?

Jeśli nie stanowi to dla Ciebie problemu, chętnie bym go zobaczył.

Czy można skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ \varphi^2 - 5}\) i z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych?

gryxon · Post autor: **gryxon** » 27 cze 2013, o 16:14

Można.

Można też bardziej elementarnie, przez sprzeczność:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{m}{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ m,n \in C}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{5}m=n}\)

\(\displaystyle{ 5m^{2}=n^{2}}\)

Jako że \(\displaystyle{ m^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ n^{2}}\) posiadają parzystą liczbe piątek w rozkładzie liczb na czynniki pierwsze mamy sprzeczność ponieważ w lewej stronie równania mamy nieparzystą liczbe piątek.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 27 cze 2013, o 16:53

gryxon pisze:Można.

Można też bardziej elementarnie, przez sprzeczność:

Raczej przez doprowadzenie do sprzeczności.