Wykorzystanie małego twierdzenia fermata.

[akytametam]

Będę wdzięczna za pokazanie rozwiązania zadania nie musi być całe ale np. opisanie krok po kroku w jaki sposób do niego podejść.

Jeżeli p jest liczbą pierwszą, a i b są liczbami całkowitymi takimi, że \(\displaystyle{ p|a^{p}-b^{p}}\), to \(\displaystyle{ p ^{2} |a^{p}-b^{p}}\)

[bakala12]

Zauważ, że z MTF wynika, że \(\displaystyle{ p|a-b}\). Pozostaje rozłożyć tą różnice p-tych potęg i stwierdzić, że p dzieli także ten drugi czynnik.

[akytametam]

Ale w jaki sposób mam udowodnić, że to właśnie \(\displaystyle{ p^2}\) dzieli \(\displaystyle{ a^p - b^b}\)

[bakala12]

Z MTF:
\(\displaystyle{ a^{p}-b^{p}\equiv a-b modp}\)
Zatem \(\displaystyle{ p|a-b}\)
Ale
\(\displaystyle{ a^{p}-b^{p}=\left( a-b\right)\left( a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^{2}+...+ab^{p-2}+b^{p-1}\right)}\)
Pokaż teraz, że drugi nawias też dzieli się przez p.-- 23 cze 2013, o 20:09 --Dokończenie:
Skoro \(\displaystyle{ p|a-b}\) to \(\displaystyle{ a \equiv b modp}\)
Zatem każdy czynnik drugiego nawiasu przystaje do \(\displaystyle{ a ^{p-1}}\) modulo \(\displaystyle{ p}\). Widać że czynników w drugim nawiasie jest dokładnie \(\displaystyle{ p}\), więc liczba z drugiego nawiasu dzieli się \(\displaystyle{ p}\).