Oblicz wartość funkcji

[agnieszka778]

Oblicz wartości funkcji \(\displaystyle{ \varphi}\), \(\displaystyle{ \tau}\) i \(\displaystyle{ \sigma}\) dla \(\displaystyle{ n = 13200}\).
Proszę o pomoc przy tym zadaniu, nie wiem jak go ruszyć.

[yorgin]

Skorzystaj z multiplikatywności funkcji oraz tego, że

\(\displaystyle{ 13200=2^4\cdot 3\cdot 5^2\cdot 11}\)

[agnieszka778]

Na razie mam:

\(\displaystyle{ \varphi \left( 13200 \right) = \varphi \left( 132 \cdot 100 \right) = \varphi \left( 132 \right) \cdot \varphi \left( 100 \right) = 132 \cdot 100 \left( 1- \frac{1}{132} \right) \cdot \left( 1- \frac{1}{100} \right) = 132 \cdot 100 \cdot \frac{131}{132} \cdot \frac{99}{100} = 12969}\)

\(\displaystyle{ \tau \left( 13200 \right) = \tau \left( 2^{4} \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 11 \right)}\)

I tutaj stanęłam, i nie wiem co z tym zrobić dalej...

[yorgin]

Narazie mam:

\(\displaystyle{ \varphi (13200) = \varphi (132 \cdot 100) = \varphi (132) \cdot \varphi (100) = 132 \cdot 100 (1- \frac{1}{132} ) \cdot (1- \frac{1}{100} ) = 132 \cdot 100 \cdot \frac{131}{132} \cdot \frac{99}{100} = 12969}\)

Zupełnie źle. Nie możesz tak zrobić. Źle stosujesz wzór.

\(\displaystyle{ \tau (13200) = \tau ( 2^{4} \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 11)}\)

I tutaj stanęłam, i nie wiem co z tym zrobić dalej...

Tu akurat masz znaleźć liczbę podzielników. Jest na to wzór, który można znaleźć chociażby na wikipedii.

[agnieszka778]

Więc jak zastosować wzór? Nie wiem jak to obliczać...

[yorgin]

Pisałem o multiplikatywności. Definicję znasz? Czytając poprzednie posty wnioskuję, że nie.



Jest tam wzór, który musisz wykorzystać do wszystkich funkcji. Przy okazji na tej stronie jest odnośnik do wszystkich funkcji, które używasz w zadaniu.

[agnieszka778]

Aha,przepraszam, wcześniej jakoś tego nie dotrzegłam tych wzorów. Więc proszę o sprawdzenie:

\(\displaystyle{ \phi\left( n \right) = 13200 \left( 1- \frac{1}{2} \right) \left( 1- \frac{1}{3} \right) \left( 1- \frac{1}{5} \right) \left( 1- \frac{1}{11} \right) = 3200}\)

\(\displaystyle{ \tau\left( n\right) =\left( 4+1\right) \left( 1+1\right) \left( 2+1\right) \left( 1+1\right) = 5 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2=30}\)

\(\displaystyle{ \sigma\left( n\right) = 1+2+3+5+11+13200 = 13222}\)

[yorgin]

\(\displaystyle{ \varphi}\) ok.

\(\displaystyle{ \tau:}\) \(\displaystyle{ 1+1=2}\) więc wyszedł Ci o połowę za mały wynik.

\(\displaystyle{ \sigma}\) - dodałaś tylko \(\displaystyle{ 6}\) dzielników. Może skorzystaj ze wzoru

\(\displaystyle{ \sigma(n)=\frac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\cdot \frac{p_2^{\alpha_2+1}-1}{p_2-1}\cdot \dots \cdot \frac{p_k^{\alpha_k+1}-1}{p_k-1}}\)

[agnieszka778]

A czym są nasze \(\displaystyle{ \alpha _{1}}\) , ... , \(\displaystyle{ \alpha _{k}}\) ?

[yorgin]

Fakt, nie napisałem.

\(\displaystyle{ n=p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k}}\)

[agnieszka778]

Wyszła mi liczba zajmująca całą kartę wszerz więc nie wiem czy dobrze. Podstawiałam tak:

\(\displaystyle{ \sigma \left( 13200\right) = 2^{5} - 1 \cdot \frac{ 3^{2}- 1 }{2} \cdot \frac{ 5^{3}-1 }{4} ..... \cdot \frac{13200 ^{2}-1 }{13199}}\)
czy to w ten sposób się liczy? Bo wyszła mi liczba 27-cyfrowa

[yorgin]

Ale do wzoru wstawiasz tylko liczby pierwsze.

\(\displaystyle{ p_1=2, \alpha_1=4\\
p_2=3, \alpha_2=1\\
\vdots}\)

Nie wszystkie podzielniki, wyszłoby za dużo

[bakala12]

A we wzorze są tylko liczby pierwsze! A ich w rozbiciu jest ich raptem 4.

[agnieszka778]

No więc po tym wyczerpanym liczeniu wyszło mi tak:
\(\displaystyle{ \sigma \left( n\right) = 2^{5} -1 \cdot \frac{ 3^{2}-1 }{2} \cdot \frac{5 ^{3}-1 }{4} \cdot \frac{11 ^{2} -1}{10} = 31 \cdot 4 \cdot 31 \cdot 12=46128}\)

Czy teraz jest w porządku?

[yorgin]

Wynik poprawny, tylko zapomniałaś w zapisie dać wyrażenie \(\displaystyle{ 2^5-1}\) w nawias.