Rozwiąż równanie w zbiorze liczb całkowitych

[agnieszka778]

Mam pytanie, czy dobrze rozwiązałam to równanie?

\(\displaystyle{ 65x+32y=26}\)

\(\displaystyle{ NWD(65,32)=1, 1|26}\)

\(\displaystyle{ 65x + 32y = 26 (mod 65)}\)
\(\displaystyle{ 33y = 39 (mod 65)}\)
\(\displaystyle{ -32y = -26 (mod 65)}\)
\(\displaystyle{ -32y = -26 | -32)}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{26}{32} = \frac{13}{16}}\)

\(\displaystyle{ y= 65 \cdot k+ \frac{13}{16} = 65 \cdot k+ \frac{13}{16}}\)
\(\displaystyle{ 65x+32 \cdot (65k + \frac{13}{16}) = 26}\)
\(\displaystyle{ 65x + 2080k +26 = 26}\)
\(\displaystyle{ 65x = -2080 | : 65}\)
\(\displaystyle{ x = -32}\)

\(\displaystyle{ x = - 32}\)
\(\displaystyle{ y = 65k + \frac{13}{16} , k \in Z}\)

[Vether]

Nie. Źle.

[agnieszka778]

Więc proszę o jakieś wskazówki, bo nie mam pojęcia jak to rozwiązać....

[bakala12]

Przede wszystkim to równanie należy rozwiązać w zbiorze liczb całkowitych, liczby postaci \(\displaystyle{ \frac{13}{16}}\) zdecydowanie nie jest całkowita.
Zacząłeś/aś względnie dobrze bo trzeba rozwiązać kongruencje:
\(\displaystyle{ 32y \equiv 26 mod 65}\)
Ale od tego momentu Twoje wyliczenia zupełnie nie trzymają się kupy. Trzeba rozwiązać tą kongruencję w pierścieniu liczb całkowitych \(\displaystyle{ Z _{65}}\).

[agnieszka778]

A teraz próbuję tak:

\(\displaystyle{ 65=1 \cdot 32+33}\)
\(\displaystyle{ x _{1} = x+y}\)
\(\displaystyle{ y_{1} = x}\)
\(\displaystyle{ 32 x_{1} +33 y_{1} = 36}\)

Dalej już nie wiem co napisać.

[Vether]

EDIT: sorki, źle napisałem... teraz jest ok.

Poprawione niżej.

[agnieszka778]

a co jest naszymi \(\displaystyle{ x_{1} , x_{2}, y_{1},y_{2}}\) ? Skąd to wiemy?

-- 19 cze 2013, o 21:17 --

czy \(\displaystyle{ x_{1} = 1}\)?

[Vether]

\(\displaystyle{ 65x+32y=26}\)

\(\displaystyle{ x_1=x+y}\) oraz \(\displaystyle{ y_1=x}\)

\(\displaystyle{ 32x_1+33y_1=26}\)

\(\displaystyle{ x_2=y_1}\) oraz \(\displaystyle{ y_2=x_1+y_1}\)

\(\displaystyle{ x_2+32y_2=26}\)

Teraz podstawiamy za \(\displaystyle{ y_2=k}\), skąd \(\displaystyle{ x_2=26-32k}\) i koleno sie wycofujemy.

[agnieszka778]

Aha, czyli wracając do powyższych równań, dostajemy:

\(\displaystyle{ y _{1} = x_{2} = 26-32k}\)
\(\displaystyle{ x _{1} = k-(26-32k) = -26+33k}\)
\(\displaystyle{ y _{2} = x_{1} + y_{1} = k}\)

czy tak?

[Vether]

Do drugiej linijki jest dobrze. Potem niepotrzebnie obliczasz \(\displaystyle{ y_2}\), bo to od tego przecież wyszliśmy. Musisz się cofnąć jeszcze raz i obliczyć \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\).

[agnieszka778]

\(\displaystyle{ x_{1} = x+y}\),\(\displaystyle{ y _{1} = x}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = y_{1} + y}\)
\(\displaystyle{ -26+33k = 26-32k+y}\)
\(\displaystyle{ y= -52+65k}\)
\(\displaystyle{ -26+33k = x-52+65k}\)
\(\displaystyle{ x = 26-32k}\)

Dobrze?

[Vether]

Tak

[agnieszka778]

Dziękuję ślicznie!