Rozwiąż równanie w zbiorze liczb całkowitych
- agnieszka778
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 16 lut 2013, o 11:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 5 razy
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb całkowitych
Mam pytanie, czy dobrze rozwiązałam to równanie?
\(\displaystyle{ 65x+32y=26}\)
\(\displaystyle{ NWD(65,32)=1, 1|26}\)
\(\displaystyle{ 65x + 32y = 26 (mod 65)}\)
\(\displaystyle{ 33y = 39 (mod 65)}\)
\(\displaystyle{ -32y = -26 (mod 65)}\)
\(\displaystyle{ -32y = -26 | -32)}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{26}{32} = \frac{13}{16}}\)
\(\displaystyle{ y= 65 \cdot k+ \frac{13}{16} = 65 \cdot k+ \frac{13}{16}}\)
\(\displaystyle{ 65x+32 \cdot (65k + \frac{13}{16}) = 26}\)
\(\displaystyle{ 65x + 2080k +26 = 26}\)
\(\displaystyle{ 65x = -2080 | : 65}\)
\(\displaystyle{ x = -32}\)
\(\displaystyle{ x = - 32}\)
\(\displaystyle{ y = 65k + \frac{13}{16} , k \in Z}\)
\(\displaystyle{ 65x+32y=26}\)
\(\displaystyle{ NWD(65,32)=1, 1|26}\)
\(\displaystyle{ 65x + 32y = 26 (mod 65)}\)
\(\displaystyle{ 33y = 39 (mod 65)}\)
\(\displaystyle{ -32y = -26 (mod 65)}\)
\(\displaystyle{ -32y = -26 | -32)}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{26}{32} = \frac{13}{16}}\)
\(\displaystyle{ y= 65 \cdot k+ \frac{13}{16} = 65 \cdot k+ \frac{13}{16}}\)
\(\displaystyle{ 65x+32 \cdot (65k + \frac{13}{16}) = 26}\)
\(\displaystyle{ 65x + 2080k +26 = 26}\)
\(\displaystyle{ 65x = -2080 | : 65}\)
\(\displaystyle{ x = -32}\)
\(\displaystyle{ x = - 32}\)
\(\displaystyle{ y = 65k + \frac{13}{16} , k \in Z}\)
- agnieszka778
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 16 lut 2013, o 11:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 5 razy
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb całkowitych
Więc proszę o jakieś wskazówki, bo nie mam pojęcia jak to rozwiązać....
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb całkowitych
Przede wszystkim to równanie należy rozwiązać w zbiorze liczb całkowitych, liczby postaci \(\displaystyle{ \frac{13}{16}}\) zdecydowanie nie jest całkowita.
Zacząłeś/aś względnie dobrze bo trzeba rozwiązać kongruencje:
\(\displaystyle{ 32y \equiv 26 mod 65}\)
Ale od tego momentu Twoje wyliczenia zupełnie nie trzymają się kupy. Trzeba rozwiązać tą kongruencję w pierścieniu liczb całkowitych \(\displaystyle{ Z _{65}}\).
Zacząłeś/aś względnie dobrze bo trzeba rozwiązać kongruencje:
\(\displaystyle{ 32y \equiv 26 mod 65}\)
Ale od tego momentu Twoje wyliczenia zupełnie nie trzymają się kupy. Trzeba rozwiązać tą kongruencję w pierścieniu liczb całkowitych \(\displaystyle{ Z _{65}}\).
- agnieszka778
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 16 lut 2013, o 11:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 5 razy
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb całkowitych
A teraz próbuję tak:
\(\displaystyle{ 65=1 \cdot 32+33}\)
\(\displaystyle{ x _{1} = x+y}\)
\(\displaystyle{ y_{1} = x}\)
\(\displaystyle{ 32 x_{1} +33 y_{1} = 36}\)
Dalej już nie wiem co napisać.
\(\displaystyle{ 65=1 \cdot 32+33}\)
\(\displaystyle{ x _{1} = x+y}\)
\(\displaystyle{ y_{1} = x}\)
\(\displaystyle{ 32 x_{1} +33 y_{1} = 36}\)
Dalej już nie wiem co napisać.
- Vether
- Użytkownik
- Posty: 408
- Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 114 razy
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb całkowitych
EDIT: sorki, źle napisałem... teraz jest ok.
Poprawione niżej.
Poprawione niżej.
Ostatnio zmieniony 20 cze 2013, o 13:24 przez Vether, łącznie zmieniany 2 razy.
- agnieszka778
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 16 lut 2013, o 11:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 5 razy
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb całkowitych
a co jest naszymi \(\displaystyle{ x_{1} , x_{2}, y_{1},y_{2}}\) ? Skąd to wiemy?
-- 19 cze 2013, o 21:17 --
czy \(\displaystyle{ x_{1} = 1}\)?
-- 19 cze 2013, o 21:17 --
czy \(\displaystyle{ x_{1} = 1}\)?
- Vether
- Użytkownik
- Posty: 408
- Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 114 razy
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb całkowitych
\(\displaystyle{ 65x+32y=26}\)
\(\displaystyle{ x_1=x+y}\) oraz \(\displaystyle{ y_1=x}\)
\(\displaystyle{ 32x_1+33y_1=26}\)
\(\displaystyle{ x_2=y_1}\) oraz \(\displaystyle{ y_2=x_1+y_1}\)
\(\displaystyle{ x_2+32y_2=26}\)
Teraz podstawiamy za \(\displaystyle{ y_2=k}\), skąd \(\displaystyle{ x_2=26-32k}\) i koleno sie wycofujemy.
\(\displaystyle{ x_1=x+y}\) oraz \(\displaystyle{ y_1=x}\)
\(\displaystyle{ 32x_1+33y_1=26}\)
\(\displaystyle{ x_2=y_1}\) oraz \(\displaystyle{ y_2=x_1+y_1}\)
\(\displaystyle{ x_2+32y_2=26}\)
Teraz podstawiamy za \(\displaystyle{ y_2=k}\), skąd \(\displaystyle{ x_2=26-32k}\) i koleno sie wycofujemy.
- agnieszka778
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 16 lut 2013, o 11:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 5 razy
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb całkowitych
Aha, czyli wracając do powyższych równań, dostajemy:
\(\displaystyle{ y _{1} = x_{2} = 26-32k}\)
\(\displaystyle{ x _{1} = k-(26-32k) = -26+33k}\)
\(\displaystyle{ y _{2} = x_{1} + y_{1} = k}\)
czy tak?
\(\displaystyle{ y _{1} = x_{2} = 26-32k}\)
\(\displaystyle{ x _{1} = k-(26-32k) = -26+33k}\)
\(\displaystyle{ y _{2} = x_{1} + y_{1} = k}\)
czy tak?
- Vether
- Użytkownik
- Posty: 408
- Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 114 razy
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb całkowitych
Do drugiej linijki jest dobrze. Potem niepotrzebnie obliczasz \(\displaystyle{ y_2}\), bo to od tego przecież wyszliśmy. Musisz się cofnąć jeszcze raz i obliczyć \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\).
- agnieszka778
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 16 lut 2013, o 11:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 5 razy
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb całkowitych
\(\displaystyle{ x_{1} = x+y}\),\(\displaystyle{ y _{1} = x}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = y_{1} + y}\)
\(\displaystyle{ -26+33k = 26-32k+y}\)
\(\displaystyle{ y= -52+65k}\)
\(\displaystyle{ -26+33k = x-52+65k}\)
\(\displaystyle{ x = 26-32k}\)
Dobrze?
\(\displaystyle{ x_{1} = y_{1} + y}\)
\(\displaystyle{ -26+33k = 26-32k+y}\)
\(\displaystyle{ y= -52+65k}\)
\(\displaystyle{ -26+33k = x-52+65k}\)
\(\displaystyle{ x = 26-32k}\)
Dobrze?
- agnieszka778
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 16 lut 2013, o 11:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 5 razy