Witam, mam do zrobienia zadanie:
Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ m = nq + r}\), to \(\displaystyle{ |NWD(m, n) = NWD(n, r).}\)
Czy ktoś mi pomoże, lub też naprowadzi jak to wykonać?
Podzielność liczb
- agnieszka778
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 16 lut 2013, o 11:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 5 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Podzielność liczb
Niech \(\displaystyle{ d=NWD\left( m,n\right)}\)
Wówczas \(\displaystyle{ d|m}\) i \(\displaystyle{ d|n}\) zatem \(\displaystyle{ d|m-nq}\) a stąd \(\displaystyle{ d|r}\)
Wówczas \(\displaystyle{ d|m}\) i \(\displaystyle{ d|n}\) zatem \(\displaystyle{ d|m-nq}\) a stąd \(\displaystyle{ d|r}\)
- agnieszka778
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 16 lut 2013, o 11:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 5 razy
Podzielność liczb
Aha,czyli to można tak zapisać?
Niech \(\displaystyle{ d = NWD(m, n)}\) . Wtedy \(\displaystyle{ d|m}\) i \(\displaystyle{ d|n}\) .
Więc przez rowność \(\displaystyle{ m = nq + r}\) , mamy \(\displaystyle{ d|r}\) . Czyli \(\displaystyle{ d|n}\) i \(\displaystyle{ d|r}\) .
Jesli \(\displaystyle{ b|n}\) oraz \(\displaystyle{ b|r}\), to z rownosci \(\displaystyle{ m = nq+r}\)mamy, ze \(\displaystyle{ b|m}\). Poniewaz \(\displaystyle{ b|n}\) i \(\displaystyle{ b|m}\)
oraz \(\displaystyle{ d = NWD(m, n)}\) ,
dlatego \(\displaystyle{ b|d}\) . W ostateczności \(\displaystyle{ d = NWD(n, r)}\) .
Dziękuję za pomoc
Niech \(\displaystyle{ d = NWD(m, n)}\) . Wtedy \(\displaystyle{ d|m}\) i \(\displaystyle{ d|n}\) .
Więc przez rowność \(\displaystyle{ m = nq + r}\) , mamy \(\displaystyle{ d|r}\) . Czyli \(\displaystyle{ d|n}\) i \(\displaystyle{ d|r}\) .
Jesli \(\displaystyle{ b|n}\) oraz \(\displaystyle{ b|r}\), to z rownosci \(\displaystyle{ m = nq+r}\)mamy, ze \(\displaystyle{ b|m}\). Poniewaz \(\displaystyle{ b|n}\) i \(\displaystyle{ b|m}\)
oraz \(\displaystyle{ d = NWD(m, n)}\) ,
dlatego \(\displaystyle{ b|d}\) . W ostateczności \(\displaystyle{ d = NWD(n, r)}\) .
Dziękuję za pomoc