Podzielność liczby

[xxmonikaxx]

Witam,
Otóż mam takie zadanie:
Wykaż,że liczba 29 dzieli liczbę \(\displaystyle{ 222222^{555555}+555555^{222222}}\).
i tutaj należy skorzystać z małego twierdzenie Fermata.

Czyli mam tak:
\(\displaystyle{ 222222^{555555}+555555^{222222} \equiv x (mod 29)}\), czyli x musi mi wyjść równy 0 aby ta liczba była podzielna przez 29.

Zatem korzystają z małe tw. Fermata mam:
\(\displaystyle{ 222222^{28}\equiv 1 mod 29}\)
\(\displaystyle{ 555555^{28} \equiv 1 mod 29}\)

i teraz mam podzielić te potęgi(222222,555555) przez 28? Czy też inaczej trzeba to zrobić? Będę wdzięczna za wskazówki.

[bartek118]

Osobiście - nie widzę innej metody

[Piotr Rutkowski]

Przydałoby się jeszcze sprawdzić jak te liczby wyglądają \(\displaystyle{ \mod 29}\)

[xxmonikaxx]

Czyli jeśli mam dzielić potęgi przez 28 otrzymam:

\(\displaystyle{ (222222^{28})^{19841} \equiv 1 mod 29}\)
\(\displaystyle{ (555555^{28})^{7936} \equiv 1 mod 29}\)

Czyli zostaje mi:

\(\displaystyle{ 2222222^{14} \equiv x_1 mod 29}\)
\(\displaystyle{ 5555555^{7} \equiv x_2 mod 29}\)

tylko teraz jak wyliczyć te \(\displaystyle{ x_1,x_2}\)?

[bakala12]

\(\displaystyle{ 5555555\equiv 25 mod29}\)

\(\displaystyle{ 2222222\equiv 10 mod29}\)