Wykreślenie ostatniej cyfry

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Maniac_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 11 cze 2013, o 10:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Wykreślenie ostatniej cyfry

Post autor: Maniac_ »

Udowodnić, że dla \(\displaystyle{ n>2}\) nie istnieją liczby n-cyfrowe, które po wykreśleniu ostatniej cyfry zmniejszają się całkowitą liczbę razy.

Próbowałem to zacząć, ale nie bardzo wiem, jak. Póki co napisałem to:

Liczbę n-cyfrową można zapisać w takiej postaci:

\(\displaystyle{ S _{1} = a \cdot 10^{n}+b \cdot 10^{n-1}+...+w \cdot 10^{1}+z \cdot 10^{0}}\)

Po wykreśleniu ostatniej cyfry otrzymujemy:

\(\displaystyle{ S _{2} = a \cdot 10^{n-1}+b \cdot 10^{n-2}+...+w \cdot 10^{0}}\)

Nie wiem teraz, jak udowodnić, że liczba powstała w wyniku podzielenia tych liczb jest liczbą całkowitą tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n=2}\).
No i nie wiem, czy od tego, co przedstawiłem wyżej, należałoby zacząć.
Z góry dzięki za pomoc.
szw1710

Wykreślenie ostatniej cyfry

Post autor: szw1710 »

Skreślenie ostatniej cyfry z liczby \(\displaystyle{ x}\) oznacza wykonanie działania \(\displaystyle{ \left(x-(x\mod 10)\right)/10}\).
Maniac_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 11 cze 2013, o 10:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Wykreślenie ostatniej cyfry

Post autor: Maniac_ »

Racja.
Problem tylko w tym, że nie do końca rozumiem, jak miałbym za pomocą tego udowodnić swoje twierdzenie...
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Wykreślenie ostatniej cyfry

Post autor: Althorion »

O ile dobrze zrozumiałem to, czego chcesz dowieść, to to twierdzenie nie jest prawdziwe. Np. \(\displaystyle{ 1000}\) jest liczbą czterocyfrową, która po skreśleniu ostatniej cyfry staje się \(\displaystyle{ 100}\), czyli liczbą dziesięciokrotnie mniejszą, tak więc zmniejszyła się całkowitą liczbę razy.
Maniac_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 11 cze 2013, o 10:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Wykreślenie ostatniej cyfry

Post autor: Maniac_ »

Przepraszam, zapomniałem dopisać chyba najważniejszego - liczba nie może kończyć się zerem
miko03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 30 mar 2013, o 14:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszow
Pomógł: 1 raz

Wykreślenie ostatniej cyfry

Post autor: miko03 »

nie wiem czy to jest dobrze ale doszedłem do czegoś takiego:
niech \(\displaystyle{ y}\) oznacza liczbe ktora otrzymamy po usunieciu ostatniej cyfry liczby \(\displaystyle{ N}\), niech \(\displaystyle{ x}\) bedzie ta ostatnia cyfra
czyli \(\displaystyle{ N=10 \cdot y+x}\)
\(\displaystyle{ \frac{N}{y}= \frac{10 \cdot y+x}{y}=10+ \frac{x}{y}}\)
jezeli liczba cyfr \(\displaystyle{ N}\) jest wieksza do \(\displaystyle{ 2}\) to \(\displaystyle{ y>x}\) a wiec wyrazenie \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\) nie moze byc liczba calkowita (oczywiscie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) sa wieksze od \(\displaystyle{ 0}\))
Ostatnio zmieniony 14 cze 2013, o 22:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli. Symbol mnożenia to \cdot.
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Wykreślenie ostatniej cyfry

Post autor: bakala12 »

miko03, wygląda poprawnie i dość elegancko.
ODPOWIEDZ