Zadanie 2. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną, \(\displaystyle{ p}\) liczbą pierwszą, \(\displaystyle{ p \ge n}\). Udowodnić, że liczba:
\(\displaystyle{ (n-1)!(p-n)!+ 1^{n+1}}\)
dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\)
Tw. Wilsona, Kongruencje
-
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 26 gru 2012, o 16:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 10 razy
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Tw. Wilsona, Kongruencje
Powinno być \(\displaystyle{ p \mid (n-1)!(p-n)!+(-1)^{n+1}}\)
Zauważ, że \(\displaystyle{ p \ge n \Rightarrow p \nmid (p-(n-1))(p-(n-2))...(p-1)}\), czyli:
\(\displaystyle{ (p-n)! \equiv \frac{(p-1)!}{(p-(n-1))(p-(n-2))(p-(n-3))...(p-2)(p-1)} \equiv \\ \\ \equiv -((p-(n-1))(p-(n-2))...(p-2)(p-1))^{-1} \equiv ((-1)^n(n-1)!)^{-1} \pmod{p}}\)
Skąd
\(\displaystyle{ (n-1)!(p-n)!+(-1)^{n+1} \equiv (n-1)!((-1)^n(n-1)!)^{-1}+(-1)^{n+1} \equiv \\ \\ \equiv (-1)^n+(-1)^{n+1} \equiv 0 \pmod{p}}\)
Zauważ, że \(\displaystyle{ p \ge n \Rightarrow p \nmid (p-(n-1))(p-(n-2))...(p-1)}\), czyli:
\(\displaystyle{ (p-n)! \equiv \frac{(p-1)!}{(p-(n-1))(p-(n-2))(p-(n-3))...(p-2)(p-1)} \equiv \\ \\ \equiv -((p-(n-1))(p-(n-2))...(p-2)(p-1))^{-1} \equiv ((-1)^n(n-1)!)^{-1} \pmod{p}}\)
Skąd
\(\displaystyle{ (n-1)!(p-n)!+(-1)^{n+1} \equiv (n-1)!((-1)^n(n-1)!)^{-1}+(-1)^{n+1} \equiv \\ \\ \equiv (-1)^n+(-1)^{n+1} \equiv 0 \pmod{p}}\)