NWD wielomianów

[karl153]

\(\displaystyle{ X^{4} -2X^{3} - X^{2} + 2X + 1}\) oraz \(\displaystyle{ 4X^{3} - 6X^{2} - 2X + 2}\)
not.rozw.
\(\displaystyle{ (X^{4} -2X^{3} - X^{2} + 2X + 1):(2X^{3}-3X^{2}-X+1)= \frac{1}{2}x- \frac{1}{4}}\) reszta \(\displaystyle{ - \frac{5}{4}X^{2}+ \frac{5}{4}x + \frac{5}{4}}\)
czyli wiem, że \(\displaystyle{ (\frac{1}{2}x- \frac{1}{4})(2X^{3}-3X^{2}-X+1)+- \frac{5}{4}X^{2}+ \frac{5}{4}x + \frac{5}{4}=X^{4} -2X^{3} - X^{2} + 2X + 1}\)
\(\displaystyle{ (2X^{3}-3X^{2}-X+1)=(2X-1)(X^{2}-X-1)+0}\)

Nie rozumiem tego, siedzę nad tym, czytam w kółko to samo i nadal nie wiem jak to zrobić. Nic nie jest po kolei, coś bierze się znikąd i jest odpowiedzią, bez sensu.

Jak ktoś był by tak uprzejmy i ujął to w kroki z krótkim zdaniem wyjaśniając rozwiązanie to było by super.

[bakala12]

Wygląda to mi na algorytm Euklidesa. Są dwa kroki. Ostatnia niezerowa reszta jest NWD.

[karl153]

\(\displaystyle{ f(x)=X^{4}-2X^{3}-X^{2}+2X+1}\) zaś drugi wielomian oznaczę jako \(\displaystyle{ g(x)=2X^{3}-3X^{2}-X+1}\)
Robię Alg.Euklidesa
1) Dzielę wielomian o stopniu większym przez ten o st. mniejszym
\(\displaystyle{ (X^{4}-2X^{3}-X^{2}+2X+1):(2X^{3}-3X^{2}-X+1)= \frac{1}{2} X- \frac{1}{4}}\) z resztą \(\displaystyle{ - \frac{5}{4} X^{2}+ \frac{5}{4} X+ \frac{5}{4}}\)
2) Mogę sobie ten wielomian pomnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\) ? załóżmy, że tak wówczas wiem, zę \(\displaystyle{ f(x)=(\frac{1}{2} X- \frac{1}{4})g(x)+(-X^{2}+X+1)}\)
3) Reszta jest nie zerowa czyli dzielę \(\displaystyle{ g(x):(-X^{2}+X+ 1)=-2X+1 r=0}\)
\(\displaystyle{ g(x)=(-2X+1)(-X^{2}+X+1)+0}\)
5) Czyli \(\displaystyle{ NWD(f,g)=-X^{2}+X+1}\)

Zgadza się ?