Rozwinięcie dziesiętne wielorakie

[Jakub Gurak]

Wiemy, że zachodzą równości na liczbach:
\(\displaystyle{ 0,\left( 9\right) =1}\)
A także \(\displaystyle{ 1,\left( 9\right) =2; 2\left( 9\right) =3}\)
A także \(\displaystyle{ 0,5=0,4\left( 9\right);7,28=7,27\left( 9\right)}\) \(\displaystyle{ \ldots}\) itd.
A to pokazuje, że rozwinięcie dziesiętne danej liczby rzeczywistej jest wielorakie.
Zachodzi pytanie: Jakie są wszystkie rozwinięcia dziesiętne ustalonej liczby rzeczywistej (dowolnej)?

Po zbadaniu sprawy dochodzę do poniższych wniosków:
I. Jeśli weźmiemy liczbę dziesiętną (o skończonej ilości cyfr), to ona ma przeliczalną ilość przedstawień o zapisie skończonym (zwykłe, +jedno zero po przecinku na końcu,+ dwa zera po przecinku na końcu, +trzy zera,\(\displaystyle{ \ldots}\))
oraz dwa sposoby zapisu nieskończonego:
1.Dopisanie nieskończonej ilości zer na końcu po przecinku
lub
2. Zmniejszenie liczby o najmniejszą tej liczby pozycję dziesiętną i dopisanie na końcu nieskończenie wielu dziewiątek

II. Jeśli weźmiemy liczbę o nieskończonym rozwinięciu właściwym (nie liczbę o okresie \(\displaystyle{ \left( 0\right)}\), ani o okresie \(\displaystyle{ \left( 9\right)}\), gdyż wówczas bym rozważał liczbę dziesiętną, dla której znalazłem wszystkie rozwinięcia dziesiętne w punkcie I.), to wówczas to rozwinięcie dziesiętne jest jedyne.
W szczególności każda liczba niewymierna ma jedno i tylko jedno rozwinięcie dziesiętne.

Czy to są dobre wnioski?

[Kmitah]

Tak, wnioski są słuszne. Trzeba jednak zaznaczyć, że rozwinięć \(\displaystyle{ 0,a_1...a_n}\) i \(\displaystyle{ 0,a_1...a_n 0 0 ...}\) nie traktuje się jako różne. Przez "rozwinięcie dziesiętne" liczby bowiem rozumie się współczynniki jakie stoją na kolejnych pozycjach.

[Jakub Gurak]

Czyli każda liczba rzeczywista, ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone?
Jeśli tak, to może być ta liczba przedstawiona, co najwyżej dwojako (na końcu same zera lub na końcu same dziewiątki).
Wyczytałem, że chyba 'poprawne' rozwinięcie dziesiętne nie może kończyć się okresem \(\displaystyle{ \left( 9\right)}\) , co by świadczyło, że każda liczba rzeczywista ma jedno i tylko jedno rozwinięcie dziesiętne.
Proszę o odpowiedź na te pytania.