Kwadrat liczby całkowitej

[karolex123]

Wyznacz wszystkie pary liczb pierwszych \(\displaystyle{ (p,q)}\), dla których liczba:
\(\displaystyle{ p ^{2} +pq+q ^{2}}\)
jest kwadratem liczby całkowitej.
Nie wiem od czego zacząć i jak do tego podejść - czy próbować z indukcją, czy przekształcić. Prosiłbym o wskazówki

[tometomek91]

Musi być \(\displaystyle{ n^2=p ^{2} +pq+q ^{2}=(p+q)^2-pq}\) czyli \(\displaystyle{ pq=(p+q+n)(p+q-n)}\). Z lewej mamy iloczyn dwóch liczb pierwszych, więc z prawej też musi tak być (dlaczego?). Bez straty ogólności możemy założyć, że \(\displaystyle{ q \le p}\). Czyli \(\displaystyle{ p+q+n=p}\) i \(\displaystyle{ p+q-n=q}\) skąd \(\displaystyle{ q=-n}\) i \(\displaystyle{ p=n}\). Czyli \(\displaystyle{ p=-q}\).

[Dilectus]

Hmm... Niech \(\displaystyle{ c ^{2}}\) będzie kwadratem liczby całkowitej. W takim razie szukamy takich liczb, które spełniają równanie

\(\displaystyle{ c ^{2}=p ^{2} +pq+q ^{2}}\)

Spróbuj zastanowić się, jak wygląda wykres takiej funkcji. Ja nie mam pojęcia... . Ale szukałbym gdzieś w okolicach elipsoid - wiesz, jakieś powierzchnie drugiego stopnia. Zobacz geometrię analityczną w przestrzeni...
Tu jestem cienias. Ostatnio zajmowałem się tym czterdzieści lat temu i już trochę zapomniałem...

-- 17 maja 2013, o 20:41 --

No, no... Tomku, Pomysł, który przedstawiłeś jest piękny. Jestem pod wrażeniem...

[bosa_Nike]

@tomektomek91: Wychodzi, że nie ma takich liczb, a to nieprawda - sprawdź \(\displaystyle{ p=3,\ q=5}\)

Z lewej mamy iloczyn dwóch liczb pierwszych, więc z prawej też musi tak być (dlaczego?).

Ten wniosek jest nieprecyzyjny, bo \(\displaystyle{ pq}\), gdy \(\displaystyle{ \ p,q\in\mathbb{P}}\) rozkłada się z dokładnością do permutacji na \(\displaystyle{ (-1,-pq),\ (-p,-q),\ (1,pq),\ (p,q)}\)

[Vether]

Bez straty ogólności możemy założyć, że \(\displaystyle{ q \le p}\). Czyli \(\displaystyle{ p+q+n=p}\) i \(\displaystyle{ p+q-n=q}\) skąd \(\displaystyle{ q=-n}\) i \(\displaystyle{ p=n}\). Czyli \(\displaystyle{ p=-q}\).

Poza tym:

\(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\)

Więc nie jest prawdą to, co zakładasz w swoim rozwiązaniu:

\(\displaystyle{ p+q-n \le p+q+n}\)


Pozdrawiam,
Vether

[Dilectus]

Z tego, co powiedziałeś, Tomku, wynika, że \(\displaystyle{ n^2}\) jest kwadratem liczby pierwszej...

Oraz to, że każda para liczb pierwszych wzajemnie przeciwnych spełnia to równanie...

Czyli: bierzemy dowolną liczbę pierwszą (a więc całkowitą), oraz liczbę przeciwną do niej (a więc też pierwszą), wstawiamy do równania i ze zdumieniem stwierdzamy, jest ona kwadratem liczby całkowitej i do tego pierwszej...

[Vether]

...oraz liczbę przeciwną do niej (a więc też pierwszą)...

Liczba przeciwna do liczby pierwszej nie jest liczbą pierwszą. Liczba pierwsza to liczba naturalna, która posiada dokładnie dwa dzielniki.

[Dilectus]

Masz rację, Vether. Palnąłem głupstwo...
Zresztą warunek, żeby liczby p i q były pierwsze jest zupełnie zbędny.
Weźmy dowolną liczbę rzeczywistą i liczbę do niej przeciwną...

[karolex123]

Hmm... A gdyby założyć, że \(\displaystyle{ p \ge q}\) i dalej:
\(\displaystyle{ a ^{2} =p ^{2} +pq+q ^{2}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ a^{2} =\left( p+q\right) ^{2} -pq}\)
\(\displaystyle{ pq=\left( p+q\right) ^{2} -a ^{2}}\)
\(\displaystyle{ pq=\left( p+q+a\right)\left( p+q-a\right)}\)
I ponieważ liczby \(\displaystyle{ p,q}\) są pierwsze oraz \(\displaystyle{ p+q+a \ge p+q-a}\) to można zrobić coś takiego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} p+q+a=pq\\ p+q-a=1 \end{cases}}\)
Wynika stąd, że:
\(\displaystyle{ 2p+2q-1=pq}\)
\(\displaystyle{ -1=pq-2p-2q}\)
\(\displaystyle{ -1=\left( p-2\right) \left( q-2\right) -4}\)
\(\displaystyle{ \left( p-2\right) \left( q-2\right) =3}\)
Ponieważ liczby \(\displaystyle{ p-2}\) i \(\displaystyle{ q-2}\) są nieujemne i \(\displaystyle{ p-2 \ge q-2}\) to można założyć, że:
\(\displaystyle{ p-2=3, q-2=1}\)
I stąd:
\(\displaystyle{ p=5}\) i \(\displaystyle{ q=3}\).
Natchnęło mnie rozumowanie użytkownika tomektomek91 .

[Vether]

\(\displaystyle{ p+q+a \ge p+q-a}\) jest kłamstem, ponieważ \(\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}}\), więc może być ujemne...

Nie zmienia to faktu, że "można zrobić coś takiego", bo jakbyś nawet zrobił "coś takiego" na odwrót (tj. \(\displaystyle{ p+q+a=1}\) i \(\displaystyle{ p+q-a=pq}\), to po zsumowaniu dostałbyś dokładnie to samo.

Poza tym założenie o \(\displaystyle{ p \ge q}\) jest zbędne i czyni zbędnym \(\displaystyle{ p-2 \ge q-2}\), ponieważ \(\displaystyle{ 3}\) rozłożone na iloczyn liczb całkowitych nieujemnych daje tylko \(\displaystyle{ 3 \cdot 1}\) lub \(\displaystyle{ 1 \cdot 3}\), więc dostajesz:

\(\displaystyle{ p=5}\) i \(\displaystyle{ q=3}\) lub \(\displaystyle{ p=3}\) i \(\displaystyle{ q=5}\)

Mimo wszystko gratuluję rozwiązania;)

[karolex123]

Ok, dzięki za poprawki

[tometomek91]

Czemu? Jest wszystko ok w moim poprzednim poście.

Czyli w tym przypadku \(\displaystyle{ p=-q}\) - nie istnieją (bosa_Nike, dzięki)

Pozostaje \(\displaystyle{ p+q-n=1}\) i \(\displaystyle{ p+q+n=pq}\), skąd \(\displaystyle{ 2p+2q-1=pq}\) czyli \(\displaystyle{ (p-2)(q-2)=3}\) i znów przypadki i dostajemy \(\displaystyle{ p=5}\) i \(\displaystyle{ q=3}\).

[Vether]

tometomek91, nie jest ok, bo napisałeś pośrednio, że \(\displaystyle{ p+q+n \ge p+q-n}\), co w świetle \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\) jest bzdurą. Bez tego byłoby ok.

[ares41]

Równanie się nie zmieni po zmianie miejscami \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\), więc możemy ograniczyć się tylko do \(\displaystyle{ n\in\NN}\) ( Gdy \(\displaystyle{ n}\) jest ujemne, to zamieniamy miejscami \(\displaystyle{ p,q}\) a postać równania się nam nie zmienia - w tym kontekście jest to poprawne b.s.o. )

[Vether]

ares41, wiem, że tak jest, ale/więc z pewnością poprawniej jest napisać, że bez straty ogólności \(\displaystyle{ p=p+q+n}\) i \(\displaystyle{ q=p+q-n}\), bo to jest jakoś uzasadnione, a założenie \(\displaystyle{ p \ge q}\) tak na prawdę nijak ma się do tego, ze \(\displaystyle{ p=p+q+n}\). Chodzi mi tylko o to;)