Rozwiąż równanie diofantyczne

[marcela19xd]

\(\displaystyle{ y^2[(x-y)^2-x-y]=(x-y)(x+y)^2}\)
Proszę o pomoc przy rozwiązaniu tego równania w liczbach całkowitych

[bartek118]

Wygląda na to, że \(\displaystyle{ (x,y)=(0,0)}\) jest jedynym rozwiązaniem, ale nie widzę jeszcze jak to wykazać

[Hassgesang]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ y = k x}\). Pierwotne równanie po paru przekształceniach doprowadzamy do \(\displaystyle{ x^3 (x(k^4-2k^3+k^2)-k-1) = 0}\). Daje to nam trywialne rozwiązanie \(\displaystyle{ (0,0)}\) które było widać już na początku.

Drugim rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ x = \frac{k+1}{(k-1)^2 k^2}=f(k)}\), ale dla \(\displaystyle{ k = 2}\) mamy \(\displaystyle{ x = 3/4}\), a \(\displaystyle{ f(k)}\) jest malejąca (dąży do zera, więc nie mamy żadnych nowych rozwiązań). Podobne rozumowanie dla ujemnych wartości \(\displaystyle{ k}\) pokazuje, że dla \(\displaystyle{ k < -4}\) \(\displaystyle{ 0 > f(k) \ge -1/225}\), czyli to równanie ma rzeczywiście tylko jedno rozwiązanie w l. całkowitych.