Niebanalne zadanie

[pempek]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 10(x+1)^{2}(y+1)^{2}=27(x^{2}+1)(y^{2}+1)\\(x+1)^{2}(y+1)^{2}=27xy\end{cases}}\)

nie mam pojęcia jak to rozkminić..

[mol_ksiazkowy]

wsk,
xy =b
x+y=a

\(\displaystyle{ 10xy=(x^2+1)(y^2+1)}\), tj

\(\displaystyle{ (a+b+1)^2=27b}\)
\(\displaystyle{ (b-6)^2+a^2=35}\)
....etc

[pempek]

trochę mnie rozjaśniłeś, ale do wyniku dalej nie potrafię dojść :mad:

[rtuszyns]

Ja tez jakoś nie widzę dokładnie jak tu podstawić. Rozpisz to proszę.

[mol_ksiazkowy]

pempek napisał:

nie mam pojęcia jak to rozkminić.....trochę mnie rozjaśniłeś, ale do wyniku dalej nie potrafię dojść

mozny by wszak odjac teraz stronami ...uzyskac zaleznosc liniowa miedzy a i b wyliczyc, wstawic do drugiego, i rozwiazac...powinno byc z gorki.

[rtuszyns]

pempek napisał:

nie mam pojęcia jak to rozkminić.....trochę mnie rozjaśniłeś, ale do wyniku dalej nie potrafię dojść

mozny by wszak odjac teraz stronami ...uzyskac zaleznosc liniowa miedzy a i b wyliczyc, wstawic do drugiego, i rozwiazac...powinno byc z gorki.

Ale spokojnie i po kolei proszę.

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ 10xy=(xy)^2+x^2+y^2+1}\)
\(\displaystyle{ 10xy=(xy)^2+(x+y)^2-2xy +1}\)
\(\displaystyle{ 10b=b^2+a^2-2b+1}\)

etc....

[rtuszyns]

No dobra ale skąd pierwsze równanie?

[mol_ksiazkowy]

bo......
\(\displaystyle{ ((x+1)(y+1))^{2}=27b}\)


AhA z ta zal liniowa lekko naciaglem bedzie
jeszcze czynnik ab, ale mozna walczyc..
tak mysle sic

[PFloyd]

z \(\displaystyle{ 10xy=(x^2+1)(y^2+1)}\) widać że \(\displaystyle{ x,y\neq0}\)

no i ciągniemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 10(x+1)^{2}(y+1)^{2}=27(x^{2}+1)(y^{2}+1)\\(x+1)^{2}(y+1)^{2}=27xy\end{cases}\\
\begin{cases}10(1+\frac{1}{x})(x+1)(1+\frac{1}{y})(y+1)=27(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})\\(1+\frac{1}{x})(x+1)(1+\frac{1}{y})(y+1)=27\end{cases}\\
\begin{cases}10(x+\frac{1}{x}+2)(y+\frac{1}{y}+2)=27(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})\\(x+\frac{1}{x}+2)(y+\frac{1}{y}+2)=27\end{cases}\\
a=x+\frac{1}{x}\\
b=y+\frac{1}{y}\\
\begin{cases}10(a+2)(b+2)=27ab\\(a+2)(b+2)=27\end{cases}}\)

[pempek]

@PFloyd: lubię Twój sposób myślenia
podoba mi się to rozwiązanie
ale pan mol_książkowy też nieźle kombinuje
dzięki panowie