liczby pierwsze

[magda87]

Mam takie zadanie:

Udowodnij, że w ciągu \(\displaystyle{ \left( 6k + 1\right)}\) istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

Gdyby ktoś mógł mi dać jakąś wskazówkę jak je rozwiązać będę bardzo wdzięczna.

[Vether]

Zastanów się jak udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych w naturalnych.

Pozdrawiam,
Vether

[studentka ap]

Mam takie samo zadanie ale nie wiem jak się za nie zabrać może ktoś mnie naprowadzi? Dziękuję:)

[bakala12]

Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 6k+1}\)

[Vether]

Dowód, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele:

Założenie: Istnieje skończenie wiele liczb pierwszych.
Niech \(\displaystyle{ A=\left\{ p_1, p_2, \ldots, p_n\right\}}\) będzie dowolnym niepustym zbiorem liczb pierwszych. Niech \(\displaystyle{ m=p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n+1}\).

\(\displaystyle{ p_i \ge 2 \Rightarrow m > 2}\)

\(\displaystyle{ m}\) ma więc rozkład na czynniki pierwsze, w którym występuje co najmniej jedna liczba \(\displaystyle{ q}\), która jest pierwsza i dzieli \(\displaystyle{ m}\). Stąd wniosek, że \(\displaystyle{ q \notin A}\), ponieważ \(\displaystyle{ m}\) dzielone przez którykolwiek element zbioru \(\displaystyle{ A}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\).

Jeśli zatem \(\displaystyle{ A}\) jest skończonym zbiorem wszystkich liczb pierwszych, to rozumując podobnie uzyskujemy liczbę pierwszą, która nie należy do \(\displaystyle{ A}\), skąd sprzeczność.

Teraz zastanówmy się nad Twoim zadaniem.

Zauważ, że \(\displaystyle{ p_1 \cdot p_2 = 6}\)...

[Hassgesang]

Twierdzenie Dirichleta orzeka, że dla względnie pierwszych \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{N}}\) nieskończenie wiele wyrazów ciągu \(\displaystyle{ ak+b}\) to liczby pierwsze.

.

[Ponewor]

Twierdzenie Dirichleta orzeka, że dla względnie pierwszych \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{N}}\) nieskończenie wiele wyrazów ciągu \(\displaystyle{ ak+b}\) to liczby pierwsze.

.

To już Twoi przedmówcy wiedzieli. Jednak gdy ktoś dostaje jako zadanie tak szczególny i trywialny przypadek i nie może sobie z nim poradzić, to raczej nie chce strzelać z tak mocno nieelementarnego twierdzenia.
Pociągnijcie to co pisał Vether, ten dowód ma być analogiczny, do tego co przedstawił.