Równanie diofantyczne

[NeBq]

Znajdź wszystkie takie trójki liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, b, c}\), dla których:
\(\displaystyle{ 16(a+b+c)=abc}\)
Z tego co wiem, można jakoś to zrobić ograniczając obszar poszukiwań za pomocą hiperboli, lecz tego nie potrafię. Jeśli wpadłby ktoś na jakieś inne rozwiązanie, to również podziękuję. Jeśli istniałby jakiś program, który zdołałby wyliczyć takie trójki, to bardzo proszę o podania jego nazwy

[Qń]

Równoważnie mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ab}+ \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} = \frac{1}{16}}\)

Bez utraty ogólności możemy założyć, że \(\displaystyle{ a\le b\le c}\). W takim razie mamy:
\(\displaystyle{ \frac {1}{16}= \frac{1}{ab}+ \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}\le \frac{3}{a^2}}\)
czyli \(\displaystyle{ a^2\le 48}\).

Stąd wniosek, że \(\displaystyle{ a\in \{1,2,3,4,5,6\}}\).

Przykładowo dla \(\displaystyle{ a=1}\) mamy równanie:
\(\displaystyle{ 16(1+b+c)=bc}\)
czyli
\(\displaystyle{ (b-16)(c-16)=272}\)
które nietrudno rozwiązać w liczbach naturalnych. Tak samo dla pozostałych \(\displaystyle{ a}\).

Ten sposób postępowania jest dość żmudny, ale z uwagi na dużą liczbę rozwiązań chyba nie da się uniknąć sporej ilości rachunków.

Q.