Rozwiąż kongruencje

[karl153]

\(\displaystyle{ 7k\equiv 1 \pmod{12}}\)
szukam \(\displaystyle{ 7^{-1}(mod12)}\) rozszerzonym alg.eukl.
\(\displaystyle{ 12=1 \cdot 7+5}\)
\(\displaystyle{ 7=1 \cdot 5+2}\)
\(\displaystyle{ 5=2 \cdot 2+1}\)
\(\displaystyle{ 1=5-2 \cdot 2=5-2 \cdot (7-1 \cdot 5)=5-2 \cdot 7+2 \cdot 5=-2 \cdot 7+3 \cdot 5=-2 \cdot 7+3(12-1 \cdot 7)=-2 \cdot 7+3 \cdot 12-3 \cdot 7=-5 \cdot 7+3 \cdot 12}\)

Oczywiście elementem przeciwnym w tym wypadku będzie \(\displaystyle{ 7}\), nawet widać to bez alg. eukl. biorąc liczby \(\displaystyle{ 0 ... 11}\), ale dlaczego mi wychodzi \(\displaystyle{ -5}\) anie \(\displaystyle{ -7}\) ?

[Qń]

Oczywiście elementem przeciwnym w tym wypadku będzie \(\displaystyle{ 7}\), nawet widać to bez alg. eukl. biorąc liczby \(\displaystyle{ 0 ... 11}\), ale dlaczego mi wychodzi \(\displaystyle{ -5}\) anie \(\displaystyle{ -7}\) ?

Odwrotnym, a nie przeciwnym. I wszystko się zgadza, bo modulo \(\displaystyle{ 12}\) jest \(\displaystyle{ -5=7}\).

Q.

[karl153]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x\equiv 9 \pmod{11}\\5x\equiv 4 \pmod{12}\\8x\equiv 18 \pmod{30}\end{cases}}\)
Z pierwszego mi wyszło jak w odpowiedzi: \(\displaystyle{ x=11k+3}\)
potem podstawiłem to pod drugi układ:
\(\displaystyle{ 55k\equiv -11 \pmod{12}}\)
\(\displaystyle{ 55k\equiv 1 \pmod{12}}\)
\(\displaystyle{ 7k\equiv 1 \pmod{12}/ \cdot (-5)}\)
\(\displaystyle{ -35k\equiv -5 \pmod{12}}\)
\(\displaystyle{ -11\equiv -5 \pmod{12}}\)
\(\displaystyle{ k=7(mod12)}\)
\(\displaystyle{ k=12s+7}\)
no fajnie ale co teraz, podstawiam to \(\displaystyle{ k}\) w miejsce wcześniej wyliczonego \(\displaystyle{ x}\) po czym wynik po podstawieniu podstawiam za \(\displaystyle{ x}\) w trzeciej kongruencji i koniec ?