Jak wywnioskować, że liczby są kwadratami liczba naturalnych
- mariolka0303
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 16 paź 2009, o 17:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: S-ów
- Podziękował: 1 raz
Jak wywnioskować, że liczby są kwadratami liczba naturalnych
Niech \(\displaystyle{ a,b,c\in N}\) oraz zachodzi równość \(\displaystyle{ c^{2}=ab}\). Jak na podstawie tego wywnioskować, że liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są kwadratami liczb naturalnych?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Jak wywnioskować, że liczby są kwadratami liczba naturalnych
Wcale nie muszą - wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a=b=c=2}\).mariolka0303 pisze:Niech \(\displaystyle{ a,b,c\in N}\) oraz zachodzi równość \(\displaystyle{ c^{2}=ab}\). Jak na podstawie tego wywnioskować, że liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są kwadratami liczb naturalnych?
Q.
- mariolka0303
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 16 paź 2009, o 17:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: S-ów
- Podziękował: 1 raz
Jak wywnioskować, że liczby są kwadratami liczba naturalnych
Przepraszam, ale zapomniałam dodać, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względem siebie pierwsze : \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Jak wywnioskować, że liczby są kwadratami liczba naturalnych
Jeśli jakaś liczba \(\displaystyle{ p}\) wchodzi z nieparzystym wykładnikiem w rozkład \(\displaystyle{ a}\) na czynniki pierwsze, to (z uwagi na to, że w takim w rozkład \(\displaystyle{ b}\) na czynniki wchodzi z wykładnikiem zero) także w rozkład \(\displaystyle{ c^2}\) na czynniki wchodzi z nieparzystym wykładnikiem. Ale to niemożliwe, bo \(\displaystyle{ c^2}\) jest kwadratem liczby naturalnej i każda liczba pierwsza wchodzi w jej rozkład z parzystym wykładnikiem.
Otrzymana sprzeczność pokazuje że nie ma liczby pierwszej która wchodzi z nieparzystym wykładnikiem w rozkład \(\displaystyle{ a}\) na czynniki, a to oznacza właśnie tyle, że \(\displaystyle{ a}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
Q.
Otrzymana sprzeczność pokazuje że nie ma liczby pierwszej która wchodzi z nieparzystym wykładnikiem w rozkład \(\displaystyle{ a}\) na czynniki, a to oznacza właśnie tyle, że \(\displaystyle{ a}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
Q.