Jak wywnioskować, że liczby są kwadratami liczba naturalnych

[mariolka0303]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c\in N}\) oraz zachodzi równość \(\displaystyle{ c^{2}=ab}\). Jak na podstawie tego wywnioskować, że liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są kwadratami liczb naturalnych?

[Qń]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c\in N}\) oraz zachodzi równość \(\displaystyle{ c^{2}=ab}\). Jak na podstawie tego wywnioskować, że liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są kwadratami liczb naturalnych?

Wcale nie muszą - wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a=b=c=2}\).

Q.

[mariolka0303]

Przepraszam, ale zapomniałam dodać, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względem siebie pierwsze : \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\).

[yorgin]

Przy takim założeniu wystarczy wykorzystać twierdzenie o jednoznaczności rozkładu.

[Qń]

Jeśli jakaś liczba \(\displaystyle{ p}\) wchodzi z nieparzystym wykładnikiem w rozkład \(\displaystyle{ a}\) na czynniki pierwsze, to (z uwagi na to, że w takim w rozkład \(\displaystyle{ b}\) na czynniki wchodzi z wykładnikiem zero) także w rozkład \(\displaystyle{ c^2}\) na czynniki wchodzi z nieparzystym wykładnikiem. Ale to niemożliwe, bo \(\displaystyle{ c^2}\) jest kwadratem liczby naturalnej i każda liczba pierwsza wchodzi w jej rozkład z parzystym wykładnikiem.

Otrzymana sprzeczność pokazuje że nie ma liczby pierwszej która wchodzi z nieparzystym wykładnikiem w rozkład \(\displaystyle{ a}\) na czynniki, a to oznacza właśnie tyle, że \(\displaystyle{ a}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

Q.