\(\displaystyle{ \sqrt{ 12^{2}+ y^{2}+(12-z)^{2}}=\sqrt{ 12^{2}+ z^{2}+(12-x)^{2}}=\sqrt{ 12^{2}+ x^{2}+(12-y)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \left\{ x, y, z\right\} \in \left\langle 0,12\right\rangle}\)
Udowodnij, że: \(\displaystyle{ x=y=z}\)
Równanie. Wykaż, że nie ma innych rozwiązań.
-
Piotr Rutkowski
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Równanie. Wykaż, że nie ma innych rozwiązań.
Dość trywialne zadanie, ponieważ zwykłe rozpatrywanie przypadków wystarcza. Przepiszmy w równoważnej postaci równości:
\(\displaystyle{ y^{2}+(12-z)^{2}=z^{2}+(12-x)^{2}=x^{2}+(12-y)^{2}}\)
Później będę się do wyrażeń odwoływał w tej kolejności, jako \(\displaystyle{ (1)=(2)=(3)}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ x=y}\), wtedy \(\displaystyle{ ((1)=(3))\Rightarrow (y=z)}\), czyli \(\displaystyle{ x=y=z}\) (wykorzystaliśmy tu po cichu założenie).
Załóżmy zatem WLOG, że \(\displaystyle{ x>y}\), wtedy sotają nam 3 przypadki:
Jeśli \(\displaystyle{ (z<y)\Rightarrow ((2)<(3))}\)
Jeśli \(\displaystyle{ (y\leq z <x)\Rightarrow ((1)<(3))}\)
Jeśli \(\displaystyle{ (z>x)\Rightarrow ((2)>(3))}\), zatem musi być \(\displaystyle{ x=y=z}\)
Można też dokonać łatwej geometrycznej interpretacji na płaszczyźnie zespolonej rozpatrując punkty \(\displaystyle{ y+(12-z)i ; z+(12-x)i ; x+(12-y)i}\), leżą one w I ćwiartce i muszą znajdować się na tym samym kole. Zakładając np. znów \(\displaystyle{ x>y}\) wystarczy zauważyć, że punkty znajdujące się na tym samym okręgu muszą mieć co najmniej jedną ze współrzędnych niemniejszą od odpowiadającej jej współrzędnej drugiego punktu.
\(\displaystyle{ y^{2}+(12-z)^{2}=z^{2}+(12-x)^{2}=x^{2}+(12-y)^{2}}\)
Później będę się do wyrażeń odwoływał w tej kolejności, jako \(\displaystyle{ (1)=(2)=(3)}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ x=y}\), wtedy \(\displaystyle{ ((1)=(3))\Rightarrow (y=z)}\), czyli \(\displaystyle{ x=y=z}\) (wykorzystaliśmy tu po cichu założenie).
Załóżmy zatem WLOG, że \(\displaystyle{ x>y}\), wtedy sotają nam 3 przypadki:
Jeśli \(\displaystyle{ (z<y)\Rightarrow ((2)<(3))}\)
Jeśli \(\displaystyle{ (y\leq z <x)\Rightarrow ((1)<(3))}\)
Jeśli \(\displaystyle{ (z>x)\Rightarrow ((2)>(3))}\), zatem musi być \(\displaystyle{ x=y=z}\)
Można też dokonać łatwej geometrycznej interpretacji na płaszczyźnie zespolonej rozpatrując punkty \(\displaystyle{ y+(12-z)i ; z+(12-x)i ; x+(12-y)i}\), leżą one w I ćwiartce i muszą znajdować się na tym samym kole. Zakładając np. znów \(\displaystyle{ x>y}\) wystarczy zauważyć, że punkty znajdujące się na tym samym okręgu muszą mieć co najmniej jedną ze współrzędnych niemniejszą od odpowiadającej jej współrzędnej drugiego punktu.