Rozwiąż w naturalnych:
\(\displaystyle{ (y+1)^{x}-1=y!}\)
Zadanie z KMDO, nie mam już pomysłu kombinowałem z podzielnością, ostatnimi cyframi i dalej nie potrafię.
Równanie w liczbach naturalnych
-
- Użytkownik
- Posty: 104
- Rejestracja: 19 kwie 2012, o 21:40
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 3 razy
Równanie w liczbach naturalnych
Ostatnio zmieniony 12 kwie 2013, o 22:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Równanie w liczbach naturalnych
\(\displaystyle{ y^{x}-1=(y-1)!}\)
Zakładamy, że \(\displaystyle{ x>0}\). Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ y\in \mathbb{P}}\), inaczej mielibyśmy oczywiście \(\displaystyle{ y|(y-1)!}\) (dlaczego?) i w konsekwencji \(\displaystyle{ y|(y^{x}-(y-1)!)=1}\), sprzeczność dla \(\displaystyle{ y>1}\).
Niech więc \(\displaystyle{ p\in \mathbb{P}}\) i \(\displaystyle{ p^{x}-1=(p-1)!}\) Łatwo zauważyć, że musi być \(\displaystyle{ 1<x<p-2}\), bo \(\displaystyle{ p^{1}-1<(p-1)!}\) (jaki jest wyjątek?) oraz \(\displaystyle{ p^{p-2}-1=1\cdot \underbrace{ p\cdot p\cdot ... \cdot p}_{p-2}-1>1\cdot 2\cdot ... \cdot (p-1)=(p-1)!}\). Skoro \(\displaystyle{ p\in \mathbb{P}}\), to \(\displaystyle{ p-1\notin \mathbb{P}}\) (dlaczego i jaki jest wyjątek?) zatem \(\displaystyle{ p-1|(p-2)!}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ (p-1)^{2}|(p-1)!}\), ale \(\displaystyle{ \frac{p^{x}-1}{p-1}=1+p+...+p^{x-1}\equiv x \ (mod \ p-1)}\), zatem \(\displaystyle{ p-1|p^{x}-1}\), ale \(\displaystyle{ (p-1)^{2}\not | p^{x}-1}\), sprzeczność.
Sprawdź małe \(\displaystyle{ y}\) tam, gdzie potrzebowałem słabych założeń od dołu żeby otrzymać wszystkie rozwiązania.
Zakładamy, że \(\displaystyle{ x>0}\). Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ y\in \mathbb{P}}\), inaczej mielibyśmy oczywiście \(\displaystyle{ y|(y-1)!}\) (dlaczego?) i w konsekwencji \(\displaystyle{ y|(y^{x}-(y-1)!)=1}\), sprzeczność dla \(\displaystyle{ y>1}\).
Niech więc \(\displaystyle{ p\in \mathbb{P}}\) i \(\displaystyle{ p^{x}-1=(p-1)!}\) Łatwo zauważyć, że musi być \(\displaystyle{ 1<x<p-2}\), bo \(\displaystyle{ p^{1}-1<(p-1)!}\) (jaki jest wyjątek?) oraz \(\displaystyle{ p^{p-2}-1=1\cdot \underbrace{ p\cdot p\cdot ... \cdot p}_{p-2}-1>1\cdot 2\cdot ... \cdot (p-1)=(p-1)!}\). Skoro \(\displaystyle{ p\in \mathbb{P}}\), to \(\displaystyle{ p-1\notin \mathbb{P}}\) (dlaczego i jaki jest wyjątek?) zatem \(\displaystyle{ p-1|(p-2)!}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ (p-1)^{2}|(p-1)!}\), ale \(\displaystyle{ \frac{p^{x}-1}{p-1}=1+p+...+p^{x-1}\equiv x \ (mod \ p-1)}\), zatem \(\displaystyle{ p-1|p^{x}-1}\), ale \(\displaystyle{ (p-1)^{2}\not | p^{x}-1}\), sprzeczność.
Sprawdź małe \(\displaystyle{ y}\) tam, gdzie potrzebowałem słabych założeń od dołu żeby otrzymać wszystkie rozwiązania.
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 18 mar 2013, o 16:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedlce
- Podziękował: 6 razy
Równanie w liczbach naturalnych
Piotr Rutkowski skąd wziąłeś pierwszą linijkę rozwiązania? nie rozumiem tego przejścia
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 18 mar 2013, o 16:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedlce
- Podziękował: 6 razy
Równanie w liczbach naturalnych
Bakala12, wiem o tym, ale nie wiem skąd wzięła się ta postać równania \(\displaystyle{ y^{x}-1=(y-1)!}\)