Matematyka.pl

Rozwiąż w naturalnych:

\(\displaystyle{ (y+1)^{x}-1=y!}\)

Zadanie z KMDO, nie mam już pomysłu kombinowałem z podzielnością, ostatnimi cyframi i dalej nie potrafię.

\(\displaystyle{ y^{x}-1=(y-1)!}\)

Zakładamy, że \(\displaystyle{ x>0}\). Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ y\in \mathbb{P}}\), inaczej mielibyśmy oczywiście \(\displaystyle{ y|(y-1)!}\) (dlaczego?) i w konsekwencji \(\displaystyle{ y|(y^{x}-(y-1)!)=1}\), sprzeczność dla \(\displaystyle{ y>1}\).

Niech więc \(\displaystyle{ p\in \mathbb{P}}\) i \(\displaystyle{ p^{x}-1=(p-1)!}\) Łatwo zauważyć, że musi być \(\displaystyle{ 1<x<p-2}\), bo \(\displaystyle{ p^{1}-1<(p-1)!}\) (jaki jest wyjątek?) oraz \(\displaystyle{ p^{p-2}-1=1\cdot \underbrace{ p\cdot p\cdot ... \cdot p}_{p-2}-1>1\cdot 2\cdot ... \cdot (p-1)=(p-1)!}\). Skoro \(\displaystyle{ p\in \mathbb{P}}\), to \(\displaystyle{ p-1\notin \mathbb{P}}\) (dlaczego i jaki jest wyjątek?) zatem \(\displaystyle{ p-1|(p-2)!}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ (p-1)^{2}|(p-1)!}\), ale \(\displaystyle{ \frac{p^{x}-1}{p-1}=1+p+...+p^{x-1}\equiv x \ (mod \ p-1)}\), zatem \(\displaystyle{ p-1|p^{x}-1}\), ale \(\displaystyle{ (p-1)^{2}\not | p^{x}-1}\), sprzeczność.
Sprawdź małe \(\displaystyle{ y}\) tam, gdzie potrzebowałem słabych założeń od dołu żeby otrzymać wszystkie rozwiązania.

Piotr Rutkowski skąd wziąłeś pierwszą linijkę rozwiązania? nie rozumiem tego przejścia

To że \(\displaystyle{ y}\) jest liczbą pierwszą jest wnioskiem z twierdzenia Wilsona.

Bakala12, wiem o tym, ale nie wiem skąd wzięła się ta postać równania \(\displaystyle{ y^{x}-1=(y-1)!}\)

Mały konflikt oznaczeń, ale tam jest zrobione podstawienie \(\displaystyle{ y+1:=y}\)