Równanie w liczbach naturalnych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Fiszer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 19 kwie 2012, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 3 razy

Równanie w liczbach naturalnych

Post autor: Fiszer » 12 kwie 2013, o 21:52

Rozwiąż w naturalnych:

\(\displaystyle{ (y+1)^{x}-1=y!}\)

Zadanie z KMDO, nie mam już pomysłu kombinowałem z podzielnością, ostatnimi cyframi i dalej nie potrafię.
Ostatnio zmieniony 12 kwie 2013, o 22:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Równanie w liczbach naturalnych

Post autor: Piotr Rutkowski » 13 kwie 2013, o 16:07

\(\displaystyle{ y^{x}-1=(y-1)!}\)

Zakładamy, że \(\displaystyle{ x>0}\). Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ y\in \mathbb{P}}\), inaczej mielibyśmy oczywiście \(\displaystyle{ y|(y-1)!}\) (dlaczego?) i w konsekwencji \(\displaystyle{ y|(y^{x}-(y-1)!)=1}\), sprzeczność dla \(\displaystyle{ y>1}\).

Niech więc \(\displaystyle{ p\in \mathbb{P}}\) i \(\displaystyle{ p^{x}-1=(p-1)!}\) Łatwo zauważyć, że musi być \(\displaystyle{ 1<x<p-2}\), bo \(\displaystyle{ p^{1}-1<(p-1)!}\) (jaki jest wyjątek?) oraz \(\displaystyle{ p^{p-2}-1=1\cdot \underbrace{ p\cdot p\cdot ... \cdot p}_{p-2}-1>1\cdot 2\cdot ... \cdot (p-1)=(p-1)!}\). Skoro \(\displaystyle{ p\in \mathbb{P}}\), to \(\displaystyle{ p-1\notin \mathbb{P}}\) (dlaczego i jaki jest wyjątek?) zatem \(\displaystyle{ p-1|(p-2)!}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ (p-1)^{2}|(p-1)!}\), ale \(\displaystyle{ \frac{p^{x}-1}{p-1}=1+p+...+p^{x-1}\equiv x \ (mod \ p-1)}\), zatem \(\displaystyle{ p-1|p^{x}-1}\), ale \(\displaystyle{ (p-1)^{2}\not | p^{x}-1}\), sprzeczność.
Sprawdź małe \(\displaystyle{ y}\) tam, gdzie potrzebowałem słabych założeń od dołu żeby otrzymać wszystkie rozwiązania.

nierozumiemfizy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 18 mar 2013, o 16:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Podziękował: 6 razy

Równanie w liczbach naturalnych

Post autor: nierozumiemfizy » 22 lip 2013, o 16:16

Piotr Rutkowski skąd wziąłeś pierwszą linijkę rozwiązania? nie rozumiem tego przejścia

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Równanie w liczbach naturalnych

Post autor: bakala12 » 22 lip 2013, o 16:28

To że \(\displaystyle{ y}\) jest liczbą pierwszą jest wnioskiem z twierdzenia Wilsona.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Wilsona

nierozumiemfizy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 18 mar 2013, o 16:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Podziękował: 6 razy

Równanie w liczbach naturalnych

Post autor: nierozumiemfizy » 22 lip 2013, o 17:30

Bakala12, wiem o tym, ale nie wiem skąd wzięła się ta postać równania \(\displaystyle{ y^{x}-1=(y-1)!}\)

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Równanie w liczbach naturalnych

Post autor: bakala12 » 22 lip 2013, o 17:35

Mały konflikt oznaczeń, ale tam jest zrobione podstawienie \(\displaystyle{ y+1:=y}\)

ODPOWIEDZ