Liczba podzielna przez 2004, zlozona z zer i siodemek

[Edward D]

Wykazac, ze istnieje liczba naturalna podzielna przez 2004 ktora w rozwinieciu dziesietnym sklada sie z samych zer i siodemek.

[Qń]

Wskazówka: rozważ liczby których zapis w systemie dziesiętnym składa się z \(\displaystyle{ k}\) siódemek dla \(\displaystyle{ k=1,2, \ldots 2004}\) i użyj zasady szufladkowej Dirichleta.

Q.

[Edward D]

Nie wiem jak w tym przypadku zastosowac te zasade.

[Qń]

Jeśli wśród tych liczb jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2004}\), to koniec. A jeśli nie ma, to spróbuj wykazać, że pewne dwie z tych liczb dają tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 2004}\). A stąd wniosek, że ich różnica jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2004}\).

Q.

[Edward D]

Wsrod wszystkich tych liczb, których jest (dużo) więcej niż 2004 jest tylko 2003 możliwości na resztę z dzielenia przez 2004 która nie jest równa zero, więc któreś dwie muszą mieć tę samą resztę, tak?

PS. Dlaczego akurat

Wskazówka: rozważ liczby których zapis w systemie dziesiętnym składa się z \(\displaystyle{ k}\) siódemek dla \(\displaystyle{ k=1,2, \ldots 2004}\) i użyj zasady szufladkowej Dirichleta.

Q.

bierzemy \(\displaystyle{ k \le 2004}\)? Przeciez zeby to zadzialalo wystarczy 2004 liczb, a wiec juz nawet dla \(\displaystyle{ k=20}\) powinno byc tyle jesli nie wiecej.

[Piotr Rutkowski]

Rozpatrzmy ciąg \(\displaystyle{ a_{n}=\underbrace{77...7}_{n}}\) tzn. \(\displaystyle{ a_{1}=7 \ a_{2}=77}\) itd.
Rozpatrzmy reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 2004}\), te reszty nalezą do zbioru \(\displaystyle{ 0,1,...,2003}\), zatem mamy dokładnie \(\displaystyle{ 2004}\) różne reszty z dzielenia. Rozpatrzmy zatem \(\displaystyle{ a_{1},...,a_{2004}}\). Jeżeli pewien wyraz tego ciągu daje resztę \(\displaystyle{ 0}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 2004}\), to \(\displaystyle{ 2004|a_{k}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\). Jeśli tak nie jest, to pewne \(\displaystyle{ 2}\) wyrazy tego ciągu dają tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 2004}\), zatem \(\displaystyle{ 2004|(a_{k}-a_{l})=\underbrace{77...7}_{k-l} \underbrace{00...0}_{l}}\), co chcieliśmy pokazać.Czy teraz jest jasne dlaczego bierzemy \(\displaystyle{ 2004}\) wyrazy ciągu?

[Edward D]

Tak, źle zrozumiałem o co chodzi. Myślałem, że bierzemy liczby które mają k siódemek w rozwinięciu dziesiętnym w ogóle, np. 700700077770770007770. W sumie tak też to chyba zadziała? Np ustalając k=5 i rozpatrując potem 2004 liczb z pięcioma siódemkami? A nawet k=1? Czyli siódemka na początku a reszta same zera?

[Piotr Rutkowski]

Tak nie zadziała, bo różnica takich liczb nie musi składać się z samych siódemek i zer, np. \(\displaystyle{ 770-707=63}\)

[Edward D]

Aha, no przeciez!! Dzieki za pomoc