Kongruencja, wyznacz 2 ostatnie cyfry

[parasite]

Korzystając z własności kongruencji, wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby \(\displaystyle{ 3^{80}+7^{80}}\)

[Uzo]

spójrz tutaj

[przemk20]

Jesli zachodzi:
\(\displaystyle{ a \equiv -1(mod 50), \ a\equiv 1(mod 50) \ to \ \ a^2 \equiv 1 (mod100)}\)
Nalezy znalezc reszte modulo 100, czyli;
\(\displaystyle{ 7^2 \equiv -1(mod 50) \\
7^4 \equiv 1(mod 100), \ \ 7^{80} \equiv 1(mod 100) \\
3^5 \equiv 43(mod 50) \equiv -7(mod 50) \\
3^{10} \equiv -49(mod 50) \equiv 1(mod 50) \\
3^{80} \equiv 1(mod 100),}\)
Ostatnia cyfra jest 2,
2 sposob,
z wzoru eulera, gdzie a i m sa wzglednie pierwsze i
\(\displaystyle{ \phi(m)}\) - funkcja eulera :
\(\displaystyle{ a^{\phi (m)} \equiv 1mod(m) \\
\phi(100)=100 (1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{2})= 40 \\}\)
3 i 7 sa wzglednie pierwsze z 100, czyli
\(\displaystyle{ 3^{40} \equiv 1(mod 100), \ \ 7^{40}\ \equiv 1(mod 100) \\
3^{80} \equiv 1(mod 100), \ \ 7^{80} \equiv 1(mod 100)}\)