dowód z NWD

[leszczu450]

Jak wykazać, że \(\displaystyle{ NWD(n^{4}+1,n^{2}+n+1)=1}\). Pewnie alogrytm Euklidesa ale nadal się tutaj gubie.

Z góry dzięki za pomoc : )

[Qń]

\(\displaystyle{ NWD(n^{4}+1,n^{2}+n+1)= NWD( n^4+1 - n^2(n^{2}+n+1),n^{2}+n+1)=\ldots}\)

Za każdym razem od wielomianu wyższego stopnia odejmuj (lub dodawaj) taką wielokrotność wielomianu niższego stopnia, żeby zredukowała się najwyższa potęga \(\displaystyle{ n}\) w wielomianie wyższego stopnia.

Q.

[leszczu450]

Qń, wiem, że \(\displaystyle{ NWD(a,b)=NWD(a,a-b)}\) gdzie \(\displaystyle{ a>b}\). Ale mogę też odejmować wyrażenie przemnożone przez coś? W naszym przypadku przemnożyłeś przez \(\displaystyle{ n^2}\).

[Qń]

Jeśli wolno nam odjąć raz, to wolno nam odjąć dowolną ilość razy
\(\displaystyle{ NWD(a,b) = NWD(a,b-a) = NWD (a,b-2a) = \ldots =NWD( a, b- ka)}\)

Q.

[leszczu450]

Qń, dzięki wielkie : ) Już to rozwiązałem : ) Wszystko jasne!