dowód twierdzenia z NWD i NWW

[leszczu450]

Cześć : ))

Jak udowodnić taką właność ?
\(\displaystyle{ {NWW(x,y)}\cdot{NWD(x,y)}=xy}\)

Z góry dziękuję!

[Althorion]

Z jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze. Zwróć ponadto uwagę, że jeśli jakaś licza pierwsza występuje w takim rozkładzie, to w NWW będzie w większej z potęg, a w NWD w mniejszej. Tak więc ostatecznie w ich iloczynie znajdzie się dwa razy, z obiema potęgami występującymi w każdej z liczb.

[leszczu450]

Althorion, nadal nie wiem jak zacząć.

[Althorion]

OK. Masz dwie liczby: \(\displaystyle{ a = 2^{a_2} \cdot 3^{a_3} \cdot 5^{a_5} \cdot \ldots}\) i \(\displaystyle{ b = 2^{b_2} \cdot 3^{b_3} \cdot 5^{b_5} \cdot \ldots}\). Jak będzie wyglądać ich NWW i NWD?

[leszczu450]

Althorion, wydaje mi się, że :
\(\displaystyle{ NWD(a,b)=2^{c_{2}} \cdot 3^{c_{3}} \cdot 5^{c_{5}} \cdot \ldots}\)

, gdzie \(\displaystyle{ c_{2}, c_{3} \ldots}\) to róznice odpowiednio większych od mniejszych \(\displaystyle{ a_{2}, a_{3} \ldots}\), \(\displaystyle{ b_{2}, b_{3} \ldots}\). Dobrze?

Nie nie nie! Jednak nie tak! \(\displaystyle{ c_{i}:= \min\left( a_{i}, b_{i}\right)}\). Teraz chyba się zgadza.-- 10 kwi 2013, o 20:02 --A \(\displaystyle{ NWW(a,b) = 2^{c_{2}} \cdot 3^{c_{3}} \cdot 5^{c_{5}} \cdot \ldots}\)

, gdzie \(\displaystyle{ c_{i}= \max \left( a_{i}, b_{i}\right)}\)

Ale żadnej z tych odpowiedzi nie jestem pewien : ) Fakt, że jest to przedstawienie przy użyciu liczb pierwszych gwarantuje mi, że nie będzie powtórzeń, więc w sumie nie powinno tu być błędu żadnego.

[Althorion]

Niestety nie. Gdyby było tak, jak Ty mówisz, to na przykład \(\displaystyle{ \NWD (2^5; 2^4) = 2^{5-4} = 2}\), co nie jest prawdą.

[leszczu450]

Althorion, a moje poprawione rozumowanie jest już OK ?

[Althorion]

O. I teraz jest wszystko świetnie. Teraz potrzebujesz jeszcze zauważyć, że jak masz dwie liczby, to jedna jest ich minimum, a ta druga jest ich maksimum. Tak więc jak pomnożysz między siebie NWW i NWD to pojawi się zarówno jedna, jak i druga. Tak samo jak w iloczynie tych liczb.

[leszczu450]

Althorion, powoli powoli. Bo nic nie zrozumiałem : ) Możesz jeszcze raz to powiedzieć i trochę więcej komentarza dać? : )-- 10 kwi 2013, o 20:38 --Chyba rozumiem.

Zrobię to od początku i napiszesz mi czy wszystko jest OK : )

DOWÓD:

Niech \(\displaystyle{ a = 2^{a_2} \cdot 3^{a_3} \cdot 5^{a_5} \cdot \ldots \\ b = 2^{b_2} \cdot 3^{b_3} \cdot 5^{b_5} \cdot \ldots}\)

W takim razie:
\(\displaystyle{ a \cdot b = 2^{a_2 + b_2} \cdot 3^{a_3 + b_3} \cdot 5^{a_5 + b_5} \cdot \ldots}\)

Określmy \(\displaystyle{ NWD(a,b)=2^{c_{2}} \cdot 3^{c_{3}} \cdot 5^{c_{5}} \cdot \ldots \\ NWW(a,b) = 2^{c'_{2}} \cdot 3^{c'_{3}} \cdot 5^{c'_{5}} \cdot \ldots}\)

, gdzie \(\displaystyle{ c_{i}:= \min\left( a_{i}, b_{i}\right) \\ c'_{i}:= \max\left( a_{i}, b_{i}\right)}\)

Trzeba zauważyć, że \(\displaystyle{ c_i + c'_i = a_i + b_i}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ NWW(a,b) \cdot NWD(a,b)= 2^{c_2 + c'_2} \cdot 3^{c_3 + c'_3} \cdot 5^{c_5 + c'_5} \ldots}\)
A to się równa oczywiście \(\displaystyle{ ab}\)

Czy od strony formalnej wszystko się zgadza?

[Althorion]

Tak, wszystko jest w porządku.