Równanie diofantyczne z liczbami pierwszymi

[jeykey1543]

Cześć, mam problem z zadaniem

Znajdź wszystkie trójki liczb naturalnych \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) takie, że:

\(\displaystyle{ (x ^{2}+1)}\) i \(\displaystyle{ (y ^{2}+1)}\) to liczby pierwsze i

\(\displaystyle{ (x ^{2}+1) \cdot (y ^{2}+1)=(z ^{2}+1)}\)

[JakimPL]

Zapewne znalazłeś pary postaci \(\displaystyle{ (1,2,3)}\), \(\displaystyle{ (2,1,3)}\). Trzeba jeszcze wykazać, że żadne inne być nie mogą. Na którym etapie jesteś?

[jeykey1543]

Niestety na etapie znalezienia tych dwóch trójek. Próbowałem coś na resztach robić, ale na razie z miernym skutkiem.

[waleckin+n]

Zauważ że x i y muszą być parzyste z pominięciem jednego przypadku. Wobec tego obie te liczby dają resztę 1 z dzielenia przez 4. Teraz pomyśl jakie dzielniki może mieć liczba z drugiego równania.