reszta z dzielenia przez 10
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
reszta z dzielenia przez 10
Cześć
Rozwiązuje przykłady z tutejszego ZBIORU ZADAŃ. W jednym z nich mam udowodnoć, że liczba \(\displaystyle{ 5^{2003} -5}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 10}\). Intuicyjnie to jasne, bo każda potęga piątki kończy się piątką. Zapisuje to sobie w kongruencji jednak boję się, że taki argument nie wystarczy. Jak mogę dowieść tego, że rzeczywiście każda potęga liczby \(\displaystyle{ 5}\) ma na ostatnim miejscu \(\displaystyle{ 5}\)?
Z góry dziękuję : )
Rozwiązuje przykłady z tutejszego ZBIORU ZADAŃ. W jednym z nich mam udowodnoć, że liczba \(\displaystyle{ 5^{2003} -5}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 10}\). Intuicyjnie to jasne, bo każda potęga piątki kończy się piątką. Zapisuje to sobie w kongruencji jednak boję się, że taki argument nie wystarczy. Jak mogę dowieść tego, że rzeczywiście każda potęga liczby \(\displaystyle{ 5}\) ma na ostatnim miejscu \(\displaystyle{ 5}\)?
Z góry dziękuję : )
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
reszta z dzielenia przez 10
Oczywiście ta liczba jest podzielna przez pięć (jako różnica liczb podzielnych przez pięć) oraz przez dwa (jako różnica liczb nieparzystych) - musi więc być też podzielna przez dziesięć.
Q.
Q.
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
reszta z dzielenia przez 10
Qń, ok to rozumiem. Ale moje pytanie jest inne. Jak udowodnić, że dowolona potęga piątki ma na ostatnim miejscu własnie piątke.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
reszta z dzielenia przez 10
No przecież jeśli \(\displaystyle{ 5^n-5=10k}\), to \(\displaystyle{ 5^n=10k+5}\), co oznacza właśnie, że ostatnią cyfrą \(\displaystyle{ 5^n}\) jest \(\displaystyle{ 5}\).
Q.
Q.
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
reszta z dzielenia przez 10
Ja bym jednak trochę inaczej to zrobił.
Skoro
\(\displaystyle{ 5\equiv 5\mod 10}\)
to również
\(\displaystyle{ 5^2\equiv 5\mod 10}\)
i iterując, dla dowolnego \(\displaystyle{ n>0}\)
\(\displaystyle{ 5^n\equiv 5\mod 10}\)
czyli istotnie ostatnią cyfrą jest \(\displaystyle{ 5}\).
Skoro
\(\displaystyle{ 5\equiv 5\mod 10}\)
to również
\(\displaystyle{ 5^2\equiv 5\mod 10}\)
i iterując, dla dowolnego \(\displaystyle{ n>0}\)
\(\displaystyle{ 5^n\equiv 5\mod 10}\)
czyli istotnie ostatnią cyfrą jest \(\displaystyle{ 5}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
reszta z dzielenia przez 10
Formalnie rzecz biorąc to wynikanie jest prawdziwe (tak samo jak wynikanie "jeśli słoń ma trąbę, to stolicą Hiszpanii jest Madryt"), ale praktycznie rzecz biorąc - oba przystawania są niezależne, nie ma prostego następstwa. Więc w Twoim rozwiązaniu należałoby wystartować od drugiego przystawania.yorgin pisze:Skoro
\(\displaystyle{ 5\equiv 5\mod 10}\)
to również
\(\displaystyle{ 5^2\equiv 5\mod 10}\)
Tak czy siak nie jest to wcale szybsze rozwiązanie.
Q.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
reszta z dzielenia przez 10
To jest względne pojęcie. Moje odwołuje się czysto do kongruencji.Qń pisze:
Tak czy siak nie jest to wcale szybsze rozwiązanie.
Q.
Dodatkowo mam wrażenie, że w swoim rozumowaniu robisz pętelkę. Chcąc pokazać, że na końcu liczby \(\displaystyle{ 5^{2003}}\) jest cyfra \(\displaystyle{ 5}\) korzystasz z tego, że \(\displaystyle{ 10|5^{2003}-5}\), a to ostatnie wynika z tego pierwszego. Popraw mnie, jeśli się mylę (mam problemy z koncentracją).
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
reszta z dzielenia przez 10
Nie. Uzasadniam w sposób elementarny dlaczego \(\displaystyle{ 5^n-5}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 10}\), a z tego dostaję, że \(\displaystyle{ 5^n= 10k+5}\), co oznacza tezę (choć faktycznie autor wątku trochę chaotycznie pisze czego właściwie chce dowieść, więc nie upieram się, że taka właśnie była jego teza).yorgin pisze:Dodatkowo mam wrażenie, że w swoim rozumowaniu robisz pętelkę.
W Twoim rozwiązaniu żeby zachować precyzję należałoby "iterację" zastąpić rozumowaniem indukcyjnym.
Q.
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
reszta z dzielenia przez 10
yorgin, ależ oczywiście ja piszę na kartce tak samo jak Ty : ) Ale nie chodzi o to. Chodzilo mi o to o czym pisał Qń. Bo można napisać: "widać, że non stop jej piatka na końcu więc tak będzie dla każdej potęgi". A mi chodziło o coś bardziej formalnego : ) Mimo wszystko dzięki za odpowiedź : )
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
reszta z dzielenia przez 10
Myślałem leszczu450, że chcesz przeprowadzić rozumowanie "\(\displaystyle{ 5^n-5}\) jest podzielne przez dziesięć, więc każda potęga piątki kończy się piątką". Jeśli jednak chodzi Ci o rozumowanie "każda potęga piątki kończy się piątką, więc \(\displaystyle{ 5^n-5}\) jest podzielne przez dziesięć", to yorgin ma rację: moje rozwiązanie nie pasuje do tego rozumowania (bo ja przyjąłem, że chodzi o to pierwsze).
Q.
Q.
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
reszta z dzielenia przez 10
Qń, nie chodzi mi ani o to pierwsze, ani o to drugie : ) Chodzi mi tylko i wyłącznie o to, dlaczego każda potęga piątki na ostatnim miejscu ma piątkę? Koniec i kropka. Zadanie które podałem było apropos tego po prostu.-- 10 kwi 2013, o 19:03 --Chłopaki i chyba żaden z Was nie doczytał mojego pierwszego posta do końca. Tam moim zdaniem pytanie jest postawione jasno i jednoznacznie : )