reszta z dzielenia przez 10

[leszczu450]

Cześć

Rozwiązuje przykłady z tutejszego ZBIORU ZADAŃ. W jednym z nich mam udowodnoć, że liczba \(\displaystyle{ 5^{2003} -5}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 10}\). Intuicyjnie to jasne, bo każda potęga piątki kończy się piątką. Zapisuje to sobie w kongruencji jednak boję się, że taki argument nie wystarczy. Jak mogę dowieść tego, że rzeczywiście każda potęga liczby \(\displaystyle{ 5}\) ma na ostatnim miejscu \(\displaystyle{ 5}\)?


Z góry dziękuję : )

[Qń]

Oczywiście ta liczba jest podzielna przez pięć (jako różnica liczb podzielnych przez pięć) oraz przez dwa (jako różnica liczb nieparzystych) - musi więc być też podzielna przez dziesięć.

Q.

[leszczu450]

Qń, ok to rozumiem. Ale moje pytanie jest inne. Jak udowodnić, że dowolona potęga piątki ma na ostatnim miejscu własnie piątke.

[Qń]

No przecież jeśli \(\displaystyle{ 5^n-5=10k}\), to \(\displaystyle{ 5^n=10k+5}\), co oznacza właśnie, że ostatnią cyfrą \(\displaystyle{ 5^n}\) jest \(\displaystyle{ 5}\).

Q.

[leszczu450]

Dzięki : ) Już rozumiem : )

[yorgin]

Ja bym jednak trochę inaczej to zrobił.

Skoro

\(\displaystyle{ 5\equiv 5\mod 10}\)

to również

\(\displaystyle{ 5^2\equiv 5\mod 10}\)

i iterując, dla dowolnego \(\displaystyle{ n>0}\)

\(\displaystyle{ 5^n\equiv 5\mod 10}\)

czyli istotnie ostatnią cyfrą jest \(\displaystyle{ 5}\).

[Qń]

Skoro
\(\displaystyle{ 5\equiv 5\mod 10}\)
to również
\(\displaystyle{ 5^2\equiv 5\mod 10}\)

Formalnie rzecz biorąc to wynikanie jest prawdziwe (tak samo jak wynikanie "jeśli słoń ma trąbę, to stolicą Hiszpanii jest Madryt"), ale praktycznie rzecz biorąc - oba przystawania są niezależne, nie ma prostego następstwa. Więc w Twoim rozwiązaniu należałoby wystartować od drugiego przystawania.

Tak czy siak nie jest to wcale szybsze rozwiązanie.

Q.

[yorgin]

Tak czy siak nie jest to wcale szybsze rozwiązanie.

Q.

To jest względne pojęcie. Moje odwołuje się czysto do kongruencji.

Dodatkowo mam wrażenie, że w swoim rozumowaniu robisz pętelkę. Chcąc pokazać, że na końcu liczby \(\displaystyle{ 5^{2003}}\) jest cyfra \(\displaystyle{ 5}\) korzystasz z tego, że \(\displaystyle{ 10|5^{2003}-5}\), a to ostatnie wynika z tego pierwszego. Popraw mnie, jeśli się mylę (mam problemy z koncentracją).

[Qń]

Dodatkowo mam wrażenie, że w swoim rozumowaniu robisz pętelkę.

Nie. Uzasadniam w sposób elementarny dlaczego \(\displaystyle{ 5^n-5}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 10}\), a z tego dostaję, że \(\displaystyle{ 5^n= 10k+5}\), co oznacza tezę (choć faktycznie autor wątku trochę chaotycznie pisze czego właściwie chce dowieść, więc nie upieram się, że taka właśnie była jego teza).

W Twoim rozwiązaniu żeby zachować precyzję należałoby "iterację" zastąpić rozumowaniem indukcyjnym.

Q.

[leszczu450]

yorgin, ależ oczywiście ja piszę na kartce tak samo jak Ty : ) Ale nie chodzi o to. Chodzilo mi o to o czym pisał Qń. Bo można napisać: "widać, że non stop jej piatka na końcu więc tak będzie dla każdej potęgi". A mi chodziło o coś bardziej formalnego : ) Mimo wszystko dzięki za odpowiedź : )

[Qń]

Myślałem leszczu450, że chcesz przeprowadzić rozumowanie "\(\displaystyle{ 5^n-5}\) jest podzielne przez dziesięć, więc każda potęga piątki kończy się piątką". Jeśli jednak chodzi Ci o rozumowanie "każda potęga piątki kończy się piątką, więc \(\displaystyle{ 5^n-5}\) jest podzielne przez dziesięć", to yorgin ma rację: moje rozwiązanie nie pasuje do tego rozumowania (bo ja przyjąłem, że chodzi o to pierwsze).

Q.

[leszczu450]

Qń, nie chodzi mi ani o to pierwsze, ani o to drugie : ) Chodzi mi tylko i wyłącznie o to, dlaczego każda potęga piątki na ostatnim miejscu ma piątkę? Koniec i kropka. Zadanie które podałem było apropos tego po prostu.-- 10 kwi 2013, o 19:03 --Chłopaki i chyba żaden z Was nie doczytał mojego pierwszego posta do końca. Tam moim zdaniem pytanie jest postawione jasno i jednoznacznie : )