Dowód parzystości funkcji Eulera

[leszczu450]

Cześć : )

Mam do udowodnienia, że \(\displaystyle{ \varphi(n)}\) jest zawsze liczbą parzystą dla \(\displaystyle{ n > 2}\).

Jedyne co przychodzi mi do głowy to zrobić to indukcyjnie. Sprawdzam, że dla \(\displaystyle{ n=3}\) tocjent jest parzysty, następnie zakładam, że \(\displaystyle{ \varphi(n)=2k}\) dla pewnych \(\displaystyle{ n, k \in \mathbb{N}}\) i zostaje mi do udowodnienia teza, że \(\displaystyle{ \varphi(n+1)= 2m}\) gdzie \(\displaystyle{ m \in \mathbb{N}}\).

Czy to jest dobry sposób?

Z góry dziękuję za pomoc : )

[brzoskwinka1]

Jeżeli \(\displaystyle{ n=p_1^{a_1} \cdot ...\cdot p_k^{a_k}}\) to


\(\displaystyle{ \varphi (n) =(p_1^{a_1} -p_1^{a_1 -1 } )\cdot ...\cdot (p_k^{a_k} -p_k^{a_k -1 } )}\)

[leszczu450]

brzoskwinka1, i co dalej? : ) Bo nadal tego nie czuje : )

[Ponewor]

Możesz teraz w każdym nawiasie wyciągnąć czynnik przed nawias. Albo od razu możesz powiedzieć co wiesz o parzystości jakiegokolwiek nawiasu, biorąc pod uwagę parzystość \(\displaystyle{ p_{i}}\).
+ Sformułowanie "parzystość funkcji" nie jest zbyt fortunne, bo oznacza to zupełnie inną własność funkcji niż ta którą masz na myśli.