dowód funkcji Eulera

[leszczu450]

Cześć : )

Muszę udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \varphi\left( m^k\right)= m^{k-1} \varphi\left( m\right)}\)

Gdzie \(\displaystyle{ m, k \in \mathbb{N}}\)

Kompletnie nie wiem jak się za to zabrać, a w kluczu jest napisane, że wzór ten jest bezpośrednią konsekwencją określenia tej funkcji.

Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam : )

[brzoskwinka1]

Jeżeli \(\displaystyle{ n=p_1^{a_1} \cdot ...\cdot p_n^{a_n}}\) to
\(\displaystyle{ \varphi (n) =n\cdot \left(1-\frac{1}{p_1 }\right)\cdot ...\cdot \left(1-\frac{1}{p_n}\right)}\)
a zatem
\(\displaystyle{ \varphi (n^s) =n^s\cdot \left(1-\frac{1}{p_1 }\right)\cdot ...\cdot \left(1-\frac{1}{p_n}\right) =n^{s-1}\cdot n\cdot \left(1-\frac{1}{p_1 }\right)\cdot ...\cdot \left(1-\frac{1}{p_n}\right) =n^{s-1}\cdot\varphi (n) .}\)

[leszczu450]

Ale tutaj \(\displaystyle{ m}\) wcale nie musi być liczbą pierwszą. Czy to jakoś nie wpływa na Twój dowód?-- 4 kwi 2013, o 15:28 --Aaaa już chyba wiem! Każdą liczbę złożoną mogę przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych z odpowiednimi potęgami. Dobrze mówię?

[Edward D]

tak, w dodatku jest to jednoznaczne.