Cześć : )
Muszę udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \varphi\left( m^k\right)= m^{k-1} \varphi\left( m\right)}\)
Gdzie \(\displaystyle{ m, k \in \mathbb{N}}\)
Kompletnie nie wiem jak się za to zabrać, a w kluczu jest napisane, że wzór ten jest bezpośrednią konsekwencją określenia tej funkcji.
Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam : )
dowód funkcji Eulera
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
dowód funkcji Eulera
Jeżeli \(\displaystyle{ n=p_1^{a_1} \cdot ...\cdot p_n^{a_n}}\) to
\(\displaystyle{ \varphi (n) =n\cdot \left(1-\frac{1}{p_1 }\right)\cdot ...\cdot \left(1-\frac{1}{p_n}\right)}\)
a zatem
\(\displaystyle{ \varphi (n^s) =n^s\cdot \left(1-\frac{1}{p_1 }\right)\cdot ...\cdot \left(1-\frac{1}{p_n}\right) =n^{s-1}\cdot n\cdot \left(1-\frac{1}{p_1 }\right)\cdot ...\cdot \left(1-\frac{1}{p_n}\right) =n^{s-1}\cdot\varphi (n) .}\)
\(\displaystyle{ \varphi (n) =n\cdot \left(1-\frac{1}{p_1 }\right)\cdot ...\cdot \left(1-\frac{1}{p_n}\right)}\)
a zatem
\(\displaystyle{ \varphi (n^s) =n^s\cdot \left(1-\frac{1}{p_1 }\right)\cdot ...\cdot \left(1-\frac{1}{p_n}\right) =n^{s-1}\cdot n\cdot \left(1-\frac{1}{p_1 }\right)\cdot ...\cdot \left(1-\frac{1}{p_n}\right) =n^{s-1}\cdot\varphi (n) .}\)
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
dowód funkcji Eulera
Ale tutaj \(\displaystyle{ m}\) wcale nie musi być liczbą pierwszą. Czy to jakoś nie wpływa na Twój dowód?-- 4 kwi 2013, o 15:28 --Aaaa już chyba wiem! Każdą liczbę złożoną mogę przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych z odpowiednimi potęgami. Dobrze mówię?