funkcja Eulera

[leszczu450]

Cześć! : )

Wiem co to funkcja Eulera, rozumiem jej działanie więc jeśli chodzi o wyliczenie dla danego argumentu to nie mam z tym raczej większych problemów. Schody zaczynają się gdy mam takie zadanie:

Znajdź \(\displaystyle{ n}\)

1. \(\displaystyle{ \varphi(n)= 14}\)
2. \(\displaystyle{ \varphi(n)= 12}\)
3. \(\displaystyle{ \varphi(n)= 8}\)

Z 2. i 3. poradziłem sobie tak:

\(\displaystyle{ 12=2^{2} \cdot 3}\) więc \(\displaystyle{ 12=n\left( 1- \frac{1}{2} \right)\left( 1- \frac{1}{3} \right)}\). Z tego wynika, że \(\displaystyle{ n=36}\)
Analogicznie robię dla punkt 3.

Wiem jednak, że to nie są wszystkie rozwiązania. Wolfram podpowiada jeszcze kilka innych. Więc moje pytanie. Jak znaleźć wszystkie? Czy mój sposób jest OK? I przede wszystkim jak poradzić sobie z pierwszym punktem. Na forum było kilka podobnych tematów odnośnie tej nieszcześliwej \(\displaystyle{ 14}\). I doczytałem, że nie istnieje takie \(\displaystyle{ n}\) dla którego tocjent równa się \(\displaystyle{ 14}\).

Proszę o pomoc i z góry dziękuję za odpowiedzi : )

[Zordon]

np. niech \(\displaystyle{ \phi(n)=14=2\cdot 7}\)
co musi spełniać \(\displaystyle{ n}\), żeby \(\displaystyle{ 7|\phi(n)}\), chwila zastanowienia pozwala odpowiedzieć na to pytanie tak: musi zachodzić \(\displaystyle{ 7^2|n}\). No ale jeśli \(\displaystyle{ 7^2|n}\) to \(\displaystyle{ \phi(n)>14}\) więc takie \(\displaystyle{ n}\) nie istnieje. Twoim zadaniem jest uzupełnienie szczegółów tego rozumowania.