Cześć !
Robię już n-ty raz to zadania i nie wychodzi mi to co chce otrzymać : ) Bo znam wynik!
Układ jest następujący:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 1 (\mod 2) \\ x \equiv 2 (\mod 3) \\ x \equiv 3 (\mod 4) \\ x \equiv 4 (\mod 5) \\ x \equiv 5 (\mod 6) \\ x \equiv 0 (\mod 7)\end{cases}}\)
Zdaję sobie sprawę, że pewne warunki się gdzieś pokrywają i że trzeba to jakoś uporządkować. Ale zupełnie nie wiem jak.
Ja mimo wszystko robie to na żywca. Nie wiem czy jest sens żebym całe moję błedne rozwiązanie tu zaprezentował. Może z góry mi powiecie co robić w takich przypadkach jak ten. Jaką kongruencje mogę rozdzielić na co i czy sposób rozwiązywania jest taki sam jak przy dwóch, trzech kongruencjach?
Pozdrawiam i z góry dziękuję za pomoc!
Zobaczyłem dopiero teraz, że piąta kongruencja jest tutaj zbędna bo jak się ją rozbije na kongruencje o modułach dwa i trzy to mamy dokładnie to co jest w pierwszej i drugiej linijce. Dochodzę zatem do takiego układu, ale zatrzymuje się w jednym miejscu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 1 (\mod 2) \\ x \equiv 2 (\mod 3) \\ x \equiv 3 (\mod 4) \\ x \equiv 4 (\mod 5) \\ x \equiv 0 (\mod 7)\end{cases}}\)
I nie wiem jak to ruszyć.
układ kongruencji
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
układ kongruencji
Pozbądźmy się najpierw dublujących się (redundantnych) informacji. Zauważmy, że z warunków \(\displaystyle{ x \equiv 1 \pmod 2}\) i \(\displaystyle{ x \equiv 2 \pmod 3}\) wynika, że \(\displaystyle{ x\equiv 5\pmod 6}\), zatem tego ostatniego możemy się pozbyć. Tak samo z warunku \(\displaystyle{ x\equiv 3\pmod 4}\) wynika, że \(\displaystyle{ x \equiv 1 \pmod 2}\), zatem tego ostatniego również możemy się pozbyć. Tak więc nasz układ jest równoważny następującemu:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x \equiv 2 \pmod 3\\
x \equiv 3 \pmod 4\\
x \equiv 4 \pmod 5\\
x \equiv 0 \pmod 7
\end{cases}}\)
A ten układ już spełnia założenia Chińskiego Twierdzenia o Resztach, zatem można już go rozwiązywać stosownym algorytmem - albo tym z Wikipedii, albo przy użyciu systemu niezależnych reszt (który w zasadzie jest tym samym co ten z Wiki, ale ładniej zapisanym), albo też na piechotę.
W tym akurat wypadku łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ x+1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3,4,5}\), zatem jest też podzielne przez \(\displaystyle{ 60}\). Stąd \(\displaystyle{ x=60k-1}\). Tak więc mamy kolejno:
\(\displaystyle{ 60k-1 \equiv 0 \pmod 7\\
4k \equiv 1 \pmod 7\\
k\equiv 2 \pmod 7\\
k=7l+2\\
x= 60(7l+2)-1 =420l+119}\)
Q.
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x \equiv 2 \pmod 3\\
x \equiv 3 \pmod 4\\
x \equiv 4 \pmod 5\\
x \equiv 0 \pmod 7
\end{cases}}\)
A ten układ już spełnia założenia Chińskiego Twierdzenia o Resztach, zatem można już go rozwiązywać stosownym algorytmem - albo tym z Wikipedii, albo przy użyciu systemu niezależnych reszt (który w zasadzie jest tym samym co ten z Wiki, ale ładniej zapisanym), albo też na piechotę.
W tym akurat wypadku łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ x+1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3,4,5}\), zatem jest też podzielne przez \(\displaystyle{ 60}\). Stąd \(\displaystyle{ x=60k-1}\). Tak więc mamy kolejno:
\(\displaystyle{ 60k-1 \equiv 0 \pmod 7\\
4k \equiv 1 \pmod 7\\
k\equiv 2 \pmod 7\\
k=7l+2\\
x= 60(7l+2)-1 =420l+119}\)
Q.
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
układ kongruencji
Nie rozumiem tego : ) Czemu z 2 pierwszych warunków wynika ten piaty?Qń pisze:Pozbądźmy się najpierw dublujących się (redundantnych) informacji. Zauważmy, że z warunków \(\displaystyle{ x \equiv 1 \pmod 2}\) i \(\displaystyle{ x \equiv 2 \pmod 3}\) wynika, że \(\displaystyle{ x\equiv 5\pmod 6}\), zatem tego ostatniego możemy się pozbyć. Tak samo z warunku \(\displaystyle{ x\equiv 3\pmod 4}\) wynika, że \(\displaystyle{ x \equiv 1 \pmod 2}\)
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy