Nierówność dla liczb naturalnych.

[miko03]

czy potrafi ktoś udowodnić, że taka nierówność zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych:
\(\displaystyle{ \left( a+ n_{1} \right) \left( b+ n_{2} \right) \cdot ... \cdot \left( z+ n_{n} \right) <abc \cdot ... \cdot z \left( n_{1} + n_{2} + n_{3} +...+ n_{n} \right)}\)

[Piotr Rutkowski]

Raczej nikt, a to dlatego, że nierówność nie jest prawdziwa. Nierówność przeciwna również nie jest prawdziwa.
Przepiszę nierówność w bardziej przyjaznej postaci:
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})<(\prod_{i=1}^{n}a_{i})(\sum_{i=1}^{n}b_{i})}\)
Lub po podzieleniu przez ten długi iloczyn: \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}(1+\frac{b_{i}}{a_{i}})<\sum_{i=1}^{n}b_{i}}\). Łatwo teraz zobaczyć co się dzieje gdy \(\displaystyle{ a_{i}=1}\) lub \(\displaystyle{ a_{i}>>b_{i}}\). Skąd w ogóle masz to zadanie?

[miko03]

ale wydaje mi sie ze jest ona poprawna dla wszystkich liczb wiekszych od 1

[smigol]

Nie jest.
\(\displaystyle{ n=a_1=a_2=2}\), \(\displaystyle{ b_1=b_2=4}\).

[miko03]

a czy jest poprawna, a jezeli tak to jak to udowodnic, jezeli wartosci \(\displaystyle{ a_{i}}\) nie moga sie powtarzac

[smigol]

Nie jest.

[miko03]

moglbys jakos to uzasadnic?

[smigol]

A sam nie możesz poszukać kontrprzykładu?
\(\displaystyle{ a_2=3=a_1+1}\), \(\displaystyle{ b_2=12=2b_1}\).

[miko03]

ok, dzieki