Uzasadnij równość

[Zahion]

\(\displaystyle{ 2 ^{a} + 1 = 5 ^{y} \Leftrightarrow a = 2 \wedge y = 1\ \ a, y \in \NN}\)
Oczywiście łatwo można dojść do tego, że \(\displaystyle{ a = 2n \wedge y =2m + 1 n, m \in \NN}\) wtedy otrzymamy, że
\(\displaystyle{ 2 ^{2n} + 1 = 5 ^{2m + 1}}\) i co dalej z tym ?

[GluEEE]

A co masz tutaj udowodnić, gdy masz już podane te liczby?

[Zahion]

Masz uzasadnić, że jest to jedyne rozwiązanie - udowodnić to.

[Ponewor]

Albo reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 8}\), albo wzór na różnicę \(\displaystyle{ y}\)-tych potęg i reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 2}\).

[Zahion]

Czy działanie typu:
\(\displaystyle{ 2 ^{2n} = 2 ^{2} (1 + 5 +...+ 5 ^{2b} )}\)
\(\displaystyle{ 2^{2n-2} = 1 + 5 +... + 5^{2b}}\) I uzasadnienie, że prawa strona jest niepodzielna przez 2 dla \(\displaystyle{ b \ge 2}\) jest poprawne ?

[Ponewor]

Dla \(\displaystyle{ b=1}\) też jest niepodzielna. Więc lewa strona też jest niepodzielna. Inaczej zapisując:
\(\displaystyle{ 2^{a-2}=5^{y-1}+5^{y-2}+\ldots + 5+1}\)
Żeby prawa strona była podzielna przez dwa musi być \(\displaystyle{ y}\) parzyste, z drugiej strony otrzymałeś \(\displaystyle{ y}\) nieparzyste. Zatem lewa strona nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\), czyli \(\displaystyle{ a=2}\) i \(\displaystyle{ y=1}\).
Polecam też jednak założyć, że \(\displaystyle{ a \ge 3}\) i popatrzeć na to równanie pod kątem reszt z dzielenia przez \(\displaystyle{ 8}\) jako użyteczne ćwiczenie.
Czy to zadanie ma coś wspólnego z zadaniem drugim z etapu pierwszego LXIII OM?

[Zahion]

Trafiłeś w 10