Pierwiastek i jego stopień

[ddominikdd_9]

Mam do rozwiązania układ równań, w którym występuje coś takiego na przykład: \(\displaystyle{ \sqrt[x]{8^y}}\) albo \(\displaystyle{ \sqrt[y]{9^{1-y}}}\). Jaka będzie dziedzina na \(\displaystyle{ x,y}\) w tym układzie równań?

[piasek101]

Niewiadome rzeczywiste ?

[ddominikdd_9]

Czyli wg Ciebie stopniem pierwiastka może być każda liczba rzeczywista?

[Edward D]

\(\displaystyle{ \sqrt[y]{9^{1-y}} = 9^{\frac{1-y}{y}} = 9^{\frac{1}{y} - 1} = \frac{1}{9} \sqrt[y]{9}}\)

[ddominikdd_9]

Nie o to mi chodzi. Tylko jakie musi być \(\displaystyle{ x}\) aby wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt[X]{a}}\) miało sens liczbowy. Czy jest jakaś definicja, która mówi jaką liczbą musi być stopień pierwiastka?

[Edward D]

Jeśli \(\displaystyle{ a}\) dodatnie to \(\displaystyle{ x}\) dowolne rzeczywiste niezerowe.

[Ponewor]

Nieprawda. Symbol \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x}}\) jest zdefiniowany jedynie dla \(\displaystyle{ n \in \NN \setminus \left\{ 0, \ 1 \right\}}\).

[Edward D]

Nieprawda. Symbol \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x}}\) jest zdefiniowany jedynie dla \(\displaystyle{ n \in \NN \setminus \left\{ 0, \ 1 \right\}}\).

Nie rozumiem dlaczego, przeciez \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x}}\) to to samo co \(\displaystyle{ x^{ \frac{1}{n} }}\). A potega dodatniej liczby jest zdefiniowana dla kazdego wykladnika? Czy to kwestia konwencji? O co chodzi?

[Ponewor]

Potęga jest zdefiniowana dla każdego wykładnika, ale symbol pierwiastka nie. Nie jestem w stanie podać w tej chwili żadnego źródła książkowego, ale powołam się raczej na autorytet Pana Kraszewskiego i jego wypowiedzi z tego tematu.

[piasek101]

przeciez \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x}}\) to to samo co \(\displaystyle{ x^{ \frac{1}{n} }}\). A potega dodatniej liczby jest zdefiniowana dla kazdego wykladnika?

To częsta pomyłka :

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{x}\neq x^{\frac{1}{n}}}\) (bo zachodzi tylko dla określonych x-sów)

[ddominikdd_9]

Zobaczcie:

\(\displaystyle{ x}\) jest stopniem pierwiastka, rozwiązanie \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) niby jest dobre...
zadanie pochodzi z konkursu mini politechniki warszawskiej