Ułamek łańcuchowy

[44]

Czy istnieje wzór ogólny na n-te "złożenie" ułamka? Jeśli tak jaki jest wzór i jak można go wyprowadzić? Jeśli nie istnieje to dlaczego?
\(\displaystyle{ a=x-\frac{1}{x-\frac{1}{x-\frac{1}{x-\frac{1}{x-\frac{1}{x}}}}}}\)

n-te "złożenie" rozumiem tutaj jako rekurencje
\(\displaystyle{ \\
a_1 = x\\
a_2 = x-\frac{1}{a_1}\\
a_3 = x-\frac{1}{a_2}\\
...\\
a_n = x-\frac{1}{a_{n-1}}}\)
W sieci natknąłem się jedynie na zapisywanie liczb w postaci ułamków łańcuchowych. Nie sprawdzałem jeszcze w literaturze. Więc jeśli ktoś dysponuje linkiem do strony lub tytułem książki będę naprawdę wdzięczny.

[Sir George]

Istnieje taki wzór. Dokładniej, \(\displaystyle{ a_n}\) nazywa się n-tym reduktem i jest równy \(\displaystyle{ \frac{q_n(x)}{p_n(x)}}\) dla pewnych wielomianów \(\displaystyle{ p_n}\) i \(\displaystyle{ q_n}\).
Szczegóły w książce "Continued Fractions" Walda.

Pozdrawiam...

[44]

Czy mógłbyś podać wydawnictwo ?

[Sir George]

"Analytic Theory of Continued Fractions", H.S.Wall, 1948 - nie wiem, gdzie. Mam reprint z 1973 roku wydany przez Chelsea (New York).
Sorry za pomyłkę w nazwisku...

PS: zobacz jeszcze: