Czynniki liczb Mersenne'a

[matemix]

Czy ktoś udowodnił już lub można udowodnić, że każdy czynnik pierwszy dowolnej liczby Mersenne'a \(\displaystyle{ 2^p-1}\) (gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą) ma postać \(\displaystyle{ k \cdot p +1}\)?

Znany jest przypadek liczb Sophie Germain, gdzie wiadomo, że liczba Mersenne'a \(\displaystyle{ 2^p-1}\) jest złożona i podzielna przez \(\displaystyle{ 2p+1}\) dla dowolnej liczby pierwszej Germain \(\displaystyle{ p \equiv -1 \ (mod \ 4)}\). Jednak czy można sformułować bardziej ogólne twierdzenie jak powyżej?

[Vax]

Niech dla pewnego pierwszego \(\displaystyle{ q}\) będzie \(\displaystyle{ 2^p \equiv 1\pmod{q}}\), niech \(\displaystyle{ t = ord_q 2}\), wówczas \(\displaystyle{ t \mid p}\), nie może być \(\displaystyle{ t=1}\), gdyż wówczas \(\displaystyle{ 2 \equiv 1\pmod{q}}\), więc \(\displaystyle{ t=p}\), ale z małego twierdzenie fermata mamy też \(\displaystyle{ t \mid q-1 \iff p \mid q-1 \iff q = k\cdot p+1}\)

[matemix]

Dzięki.