dowód na podzielnosc

[sigmacialo]

Wykaz , ze liczba
\(\displaystyle{ 1 ^{4} + 2 ^{4}+ 3 ^{4} + .....+ 3011 ^{4}}\)
jest podzielna przez 503.

[yorgin]

Czy aby na pewno ostatnim wyrazem jest \(\displaystyle{ 3011^4}\) ?

[sigmacialo]

pomyłka
ostatni składnik sumy to
\(\displaystyle{ 2011 ^{4}}\)

[yorgin]

To grupuj składniki tak:

\(\displaystyle{ 1^4+2011^4\\
2^4+2010^4\\
3^4+2009^4\\
\vdots\\
1005^4+1007^4\\
1006^4}\)

I spróbuj ze wzorów skróconego mnożenia przekształcić to.

[sigmacialo]

ale jest jakis wzór na
\(\displaystyle{ a ^{4} + b ^{4}}\)?

[yorgin]

Te wzory jednak nie pomogą, moje niedopatrzenie.

Na pewno da się to zrobić korzystając ze wzoru

\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^n k^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}}\)

podstawiając \(\displaystyle{ n=2011}\) i pokazując, że

\(\displaystyle{ 503 | \frac{(n+1)(2n+1)(3n^3+3n-1)}{30}}\)

co trudne nie powinno być.

[sigmacialo]

jednak poprosze o jakas prostsza wskazówke, to jest zadanie ze szkoly sredniej....

[yorgin]

Gdyby to były liczby podniesione do trzeciej potęgi, od ręki podałbym rozwiązanie. Natomiast dla czwartej potęgi nic lepszego nie przychodzi mi do głowy. Nie widzę, jak pogrupować liczby tak, by zastosować jakiś wzór taki, żeby wypluł on składnik podzielny przez \(\displaystyle{ 503}\).

[bourbaki]

sigmacialo, a nie możesz po prostu zrobić tak jak Ci yorgin napisał skoro jest to na poziomie szkoły średniej? Kontynuując to rozumowanie wystarczy, że pokażesz:

\(\displaystyle{ (2 \cdot 503) \mid (2011+1)}\)
\(\displaystyle{ 3 \mid (2 \cdot 2011+1)}\)
\(\displaystyle{ 5 \mid (3 \cdot (5k+1)^2+3 \cdot (5k+1)-1)}\)
\(\displaystyle{ 1 \mid 2011}\)

Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ 2011}\) jest postaci \(\displaystyle{ 5k+1}\)

Wymnażając to stronami względem "kreski" podzielności dostajesz tezę.

[sigmacialo]

mo tak, ale skad nagle mam wiedziec, ze suma k do czwartej potegi to wlasnie tyle, co napisał yorgin... ?

[yorgin]

Można to łatwo wykazać indukcyjnie.

[sigmacialo]

no niby tak, ale dla mnie to takie troche....
Bo skad niby mam to wiedziec, zey to indukcyjnie pokazac? Jakos to do mnie nie przemawia.
Nie ma innego sposobu?

[yorgin]

Indukcja to najprostsza możliwa metoda.

Inne metoda to rachunek różnicowy, ale to jest już wiedza akademicka.

[bourbaki]

Ewentualnie zaburzanie sum może być na poziomie szkoły średniej - swoją drogą jest gotowy wzór Faulhabera, ale z niego raczej się nie korzysta w sś. A tak w ogóle to przecież w zadaniu nie jest istotne jak "wpadłeś" na jego rozwiązanie, tylko czy rozumowanie jest prawidłowe i czy prowadzi do tego rozwiązania.