Równanie w zbiorze liczb nieparzystych

[ddominikdd_9]

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ k^{4}- l^{3}-4=0}\) w zbiorze liczb nieparzystych.

Z góry dziękuję za pomoc

edit: sprawdziłem już bardzo dużo par liczb i nic nie pasuje, więc wydaje mi się, że to równanie nie ma rozwiązania. Jeśli tak jest to jak to udowodnić?

[bartek118]

\(\displaystyle{ k^4 - 4 = l^3 \\
(k^2 - 2)(k^2 + 2) = l^3}\)

Po lewej stronie mamy liczby odległe od siebie o \(\displaystyle{ 4}\), tj. mamy sytuację: \(\displaystyle{ x(x+4) = l^3}\), gdzie \(\displaystyle{ x = k^2 - 2}\).

Stąd \(\displaystyle{ x = \pm \sqrt{l^3 + 4} - 2}\). Ale okazuje się, że \(\displaystyle{ l^3 + 4}\) nie może być kwadratem liczby całkowitej.

[Ponewor]

Ale okazuje się, że \(\displaystyle{ l^3 + 4}\) nie może być kwadratem liczby całkowitej.

W zasadzie to mogłeś nie pisać nic poza tym zdaniem, bo przecież \(\displaystyle{ l^{3}+4=k^{4}=\left(k^{2}\right)^{2}}\)-- 29 mar 2013, o 23:54 --EDIT Proszę o uzasadnienie tego faktu.

[ddominikdd_9]

Gdyby przedstawić \(\displaystyle{ l}\) jako \(\displaystyle{ 2n+1}\), bo jest liczbą nieparzystą
Wtedy \(\displaystyle{ (2n+1)^3+4=8n^3+12n^2+6n+5}\) .
Nie da się tego "zwinąć", zeby było widać, że to kwadrat liczby. To wystarczy?

[Ponewor]

To że czegoś nie da się zwinąć, to żaden argument. Może da się, tylko Ty nie potrafisz? A nawet gdyby? Weźmy takie wyrażenie: \(\displaystyle{ 2n+1}\). Też nie da się zwinąć. A jak położymy \(\displaystyle{ n=4}\) to będzie kwadrat.

[bartek118]

Popatrz na to modulo 3.

[Ponewor]

\(\displaystyle{ k^{4}=l^{3}+4 \equiv l^{3}+1 \equiv l+1 \pmod{3}}\)
Prawa strona kongruencji przyjmie więc dowolną wartość modulo \(\displaystyle{ 3}\). Jak tu szukać sprzeczności? Nie widzę czegoś oczywistego? Można powiedzieć z tego jedynie, że \(\displaystyle{ 3 \nmid l-1}\). Z modulo \(\displaystyle{ 9}\) można powiedzieć, że \(\displaystyle{ l=3l_{1}/tex], a \(\displaystyle{ k}\) jest postaci \(\displaystyle{ 9n \pm 4}\). Wzbogaceni o te informacje patrzymy modulo \(\displaystyle{ 27}\) i szybka sprzeczność. Ale czy jest coś prostszego?}\)

[ddominikdd_9]

Musi być prostsze rozwiązanie, bo to jest zadanie na poziomie liceum i arsenał licealisty powinien wystarczyć do jego rozwiązania. Może by zrobić jakiś użytek z tego, że liczby te są nieparzyste.

[Ponewor]

No cóż. Rozwiązanie powyżej operuje jedynie na resztach z dzielenia.