Znany problem(?). Takie tam kwadraty.

[GluEEE]

\(\displaystyle{ y^2=x^3+1}\)
\(\displaystyle{ y=\sqrt{x^3+1} \vee -\sqrt{x^3+1}}\)
I jak teraz to udowodnić? Myślałem na twierdzeniem Mihăilescu, ale nie wiem za bardzo jak to w tym momencie zastosować.

[Jan Kraszewski]

Ale co udowodnić?

JK

[GluEEE]

Ach, xD. Chodzi o to, żeby wynik był w liczbą naturalną.

[Jan Kraszewski]

Chcesz znaleźć pary liczb naturalnych \(\displaystyle{ (x,y)}\), które są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ y^2=x^3+1}\), tak?

JK

[GluEEE]

Tak.

[Dilectus]

Jest nieskończenie wiele takich par. Narysuj wykres tej relacji w programie Graph, to zobaczysz wszystkie pary (x, y) spełniające to równanie...
.

[GluEEE]

Czy aby na pewno? Twierdzenie Mihăilescu mówi inaczej. Chodzi o liczby całkowite.

[Piotr Rutkowski]

Nie do końca rozumiem o co pytasz... Czy o to jak udowodnić twierdzenie Mihailescu w tym przypadku, czy jak je zastosować?
Jeśli to drugie, po prostu \(\displaystyle{ 1=y^{2}-x^{3}}\), a skoro równanie to jest szczególnym przypadkiem równania \(\displaystyle{ 1=a^{x}-b^{y}}\), to skoro to drugie ma pojedyncze rozwiązanie, to pierwsze również.
Jeśli to pierwsze, to spójrz na rozdział 3.3 tutaj:
... atalan.pdf
Patrząc jednak na Twój wiek odradzam próby wgłębiania się w rozwiązanie z użyciem krzywych eliptycznych, lecz po nim jest podany elementarny dowód Eulera.

p.s. Następnym razem lepiej daj do Teorii Liczb.

[GluEEE]

Czyli według tego twierdzenia:
\(\displaystyle{ y=3 \vee -3}\)
\(\displaystyle{ x=2}\)
Lub
\(\displaystyle{ y=1 \vee -1}\)
\(\displaystyle{ x=0}\)

[Ponewor]

Początek nieco innego podejścia.
Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie dowolną liczbą pierwszą taką, że \(\displaystyle{ p \neq 3}\) i \(\displaystyle{ p \mid x+1}\). Otrzymujemy kongruencję \(\displaystyle{ x \equiv -1 \pmod{p}}\). Rozważamy równanie \(\displaystyle{ y^{2}=\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}\). Przez \(\displaystyle{ v_{p}\left(x\right)}\) będę oznaczał najwyższą potęgę liczby \(\displaystyle{ p}\) jaka dzieli \(\displaystyle{ x}\), (inaczej \(\displaystyle{ v_{p}\left(x\right)=\alpha \Leftrightarrow p^{\alpha} \mid x \wedge p^{\alpha+1} \nmid x}\)). Oczywiście \(\displaystyle{ v_{p}\left(y^{2}\right)}\) jest parzyste, więc parzyste jest też \(\displaystyle{ v_{p}\left(\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\right)=v_{p}\left(x+1\right)+v_{p}\left(x^{2}-x+1\right)}\). Teraz kongruencje:
\(\displaystyle{ x^{2}-x+1\equiv \left(-1\right)^{2}-\left(-1\right)+1\equiv 3 \pmod{p} \Rightarrow p \nmid x^{2}-x+1 \Leftrightarrow v_{p}\left(x^{2}-x+1\right)=0}\)
a to pociąga za sobą parzystość \(\displaystyle{ v_{p}\left(x+1\right)}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ x+1}\) jest postaci \(\displaystyle{ k^{2}}\) lub \(\displaystyle{ 3k^{2}}\). Najpierw pierwsza możliwość:
\(\displaystyle{ y^{2}=\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)=\left(x+1\right)\left(\left(x+1\right)^{2}-3\left(x+1\right)+3\right)=k^{2}\left(k^{4}-3k^{2}+3\right)}\)
Niech \(\displaystyle{ z=\frac{y}{k}}\), oraz \(\displaystyle{ t=k^{2}}\), wtedy:
\(\displaystyle{ z^{2}=k^{4}-3k^{2}+3 \Leftrightarrow t^{2}-3t+3-z^{2}}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{3 \pm \sqrt{9-12+4z^{2}}}{2}}\)
co daje nam \(\displaystyle{ 4z^{2}-3=a^{2} \Leftrightarrow \left( 2z-a\right)\left( 2z+a\right)=3}\)
skąd już łatwo wyliczyć \(\displaystyle{ z=1}\), \(\displaystyle{ t=1 \vee t=2}\), \(\displaystyle{ k=1}\), \(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ y=1}\).
Teraz \(\displaystyle{ x+1=3k^{2}}\). Jednak tego przypadku nie umiem rozwiązać. Może ma ktoś pomysł jak to dokończyć?

[GluEEE]

Może wydać się Ci głupie to pytanie, ale co oznacza ta pionowa kreska po \(\displaystyle{ p}\) w pierwszej linijce?

[Ponewor]

\(\displaystyle{ a \mid b \Leftrightarrow b \equiv 0 \pmod {a} \Leftrightarrow \frac{b}{a} \in \ZZ}\)
Czytamy \(\displaystyle{ a}\) dzieli \(\displaystyle{ b}\) lub \(\displaystyle{ b}\) podzielne przez \(\displaystyle{ a}\).