Odszukanie par (x,y)

[Stasze4]

Ile par dodatnich liczb całkowitych \(\displaystyle{ (x,y)}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ x ^{3} y ^{3} = 6 ^{12}}\)?

Sam znalazłem 5:

\(\displaystyle{ (6 ^{2})^{3} (6 ^{2})^{3} = 6 ^{12} \\
1 ^{3} (6^{4})^{3}= 6 ^{12}\\
(6^{4})^{3} 1 ^{3}= 6 ^{12}\\
(6 ^{3})^{3} 6 ^{3}= 6 ^{12}\\
6 ^{3} (6 ^{3})^{3} = 6 ^{12}}\)

Odpowiedzią poprawną jest jedna z tych: a) \(\displaystyle{ 6}\), b) \(\displaystyle{ 8}\), c) \(\displaystyle{ 12}\), ale niestety nie mogę się doszukać więcej rozwiązań. Ktoś z Was widzi?

[johnny1591]

Dzielnikami 6 są także 2 i 3

[Stasze4]

O super

\(\displaystyle{ 6^{12} = (3 \cdot 2)^{12} = (3^{4})^{3} (2^{4})^{3}}\)

czyli 2 następne pary mam:

\(\displaystyle{ (3^{4})^{3} (2^{4})^{3}\\
(2^{4})^{3} (3^{4})^{3}}\)

Jednak wtedy robi się 7 par a to wciąż nie jest jedna z możliwych odpowiedzi

[johnny1591]

A jakby wziąć np. zapisać to równanie tak:

\(\displaystyle{ xy=6^4}\)
I dalej:

\(\displaystyle{ x= \frac{6^4}{y}}\)

I jakbyś wziął np. \(\displaystyle{ y =2}\)

[Stasze4]

Masz na myśli

\(\displaystyle{ x = \frac{1296}{2} = 648\\

xy = 648 * 2 = 6^{4}?}\)

Szczerze mówiąc jest jeszcze czwarta opcja d) Inna liczba., musiałem ją zlekceważyć
ale nie jestem pewien czy wyczerpane są już wszystkie kombinacje

[johnny1591]

Nie są ,oczywiście:

\(\displaystyle{ y=2, x=2^3 \cdot 3^4}\)oraz
\(\displaystyle{ y=2^3 \cdot 3^4, x=2}\)
To są kolejne 2 kombinacje, czyli już masz 9.
Jeszcze jakiejś brakuje

[Stasze4]

W takim razie

\(\displaystyle{ y = 3, x = 2^{4} \cdot 3^{3}\\
x = 3, y = 2^{4} \cdot 3^{3}}\)

też się zalicza?

[johnny1591]

Oczywiście
ale wciąż brakuje jakiejś

[Stasze4]

Biorąc pod uwagę wcześniejszy przykład to też będzie ok:

\(\displaystyle{ 648^{3}2^{3} = 6^{12}\\
2^{3} 648^{3}= 6^{12}}\)

Zatem 13 par wskazuje tutaj na odpowiedź d), prawda?

[johnny1591]

13 par wskazuje na odpowiedź d) jeśli takowa jest
ja znalazłem na ten moment 19 takich par, a ta liczba wciąż rośnie

[kamil13151]

Równoważnie mamy do rozpatrzenia \(\displaystyle{ y= \frac{6^4}{x}}\). Teraz teza zadania to nic innego jak odpowiedź na pytanie ile dzielników ma liczba \(\displaystyle{ 6^4}\)? Natomiast ich jest: \(\displaystyle{ 6^4=3^4 \cdot 2^4}\), tyle: \(\displaystyle{ (4+1)(4+1)=25}\).

[Stasze4]

Dzięki wielkie

[johnny1591]

Dla wyjaśnienia koledze zadającemu pytanie:

Jeśli liczbę rozłożymy na iloczyn potęg różnych liczb pierwszych

\(\displaystyle{ n = p^{ k_{1}}_{1} \cdot p^{ k_{2}}_{2} \cdot ... \cdot p^{ k_{n}}_{n}}\), to liczbę różnych dzielników wyznaczymy :

\(\displaystyle{ ( k_{1} + 1) \cdot ( k_{2} + 1) \cdot ... \cdot ( k_{n} + 1)}\)

A że u nas mamy tylko rozkład na iloczyn potęg dwóch liczb pierwszych oraz \(\displaystyle{ k_{1}=4}\) i \(\displaystyle{ k_{2}=4}\), stąd taki wynik, jak kolega wyżej przedstawił.

[Stasze4]

Dzięki za to wyjaśnienie, zapamiętam ten wzorek