nieskończenie wiele poteg dwójki w ciagu

[rochaj]

Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele poteg dwójki w ciagu \(\displaystyle{ a_n=\lfloor n\sqrt 2\rfloor}\)

[mol_ksiazkowy]

że istnieje nieskończenie wiele poteg dwójki w ciagu

Ukryta treść:    

szkic
Istnieje nieskończenie wiele \(\displaystyle{ n \in N}\) takich, że:
\(\displaystyle{ \{ 2^n\sqrt{2} \} > \frac{1}{2}}\)
tj.
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}} > 1 - \{ 2^n\sqrt{2} \}}\) i
\(\displaystyle{ \lfloor 2^{n+1} + (1 - \{ 2^n\sqrt{2} \})\sqrt{2} \rfloor= 2^{n+1}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \lfloor (2^n\sqrt{2} - \{ 2^n\sqrt{2} \} +1)\sqrt{2} \rfloor= 2^{n+1}}\)
tj dla \(\displaystyle{ k= \lfloor 2^n\sqrt{2} +1 \rfloor}\) jest \(\displaystyle{ \lfloor k\sqrt{2 }\rfloor = 2^{n+1}}\)