Maksimum zmodyfikowanego ciągu Fibonacciego

[ojciec_kogut]

Niech \(\displaystyle{ m}\) oraz \(\displaystyle{ m_0}\) będą naturalne. Rozważmy następujący ciąg
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_0=0, x_1=m_0<m\\ x_{n+2}=x_{n+1}+x_n(mod m) \end{cases}}\).

Oblicz \(\displaystyle{ \max_{m_0<m} x_n}\). Ewentualnie w prostszej wersji, że \(\displaystyle{ m=2^k, k \in \mathbb{N}}\).

Z góry bardzo dziękuję!

[Piotr Rutkowski]

Dla standardowego zapisu \(\displaystyle{ F_{0}=0,F_{1}=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}}\) mamy:
\(\displaystyle{ x_{n}=m_{0}F_{n}(mod \ m)}\)
Czyli dla dowolnego \(\displaystyle{ m,n}\) poszukujemy
\(\displaystyle{ \max_{m_{0}} \ m_{0}F_{n}(mod \ m)}\)

Ogólnie dla dowolnego \(\displaystyle{ m}\) muszę przyznać nie mam żadnego pomysłu, zgaduję że nie da się powiedzieć nic sensownego w ogólności, ale dla \(\displaystyle{ m=2^{k}}\):
Zauważmy, że \(\displaystyle{ (3\not | n)\iff (2\not |F_{n})}\). Dla tego przypadku mamy trywialne rozwiązanie, bo gdy zdefiniujemy zbiór \(\displaystyle{ A=\{x=aF_{n}(mod \ m) ; a\in \{0,1,...,m-1\}\}}\) to oczywiście \(\displaystyle{ |A|=m}\), bo \(\displaystyle{ (m|a_{1}F_{n}-a_{2}F_{n}=(a_{1}-a_{2})F_{n})\iff (m|a_{1}-a_{2})}\), zatem jeśli \(\displaystyle{ 3\not |n}\) to \(\displaystyle{ \max_{m_{0}}m_{0}F_{n}=m-1}\).

W skrócie maksimum dla przypadku \(\displaystyle{ 3|n}\) będzie zależało w dużej części od liczby \(\displaystyle{ l}\) takiej, że \(\displaystyle{ 2^{l}||F_{n}}\) (ale niestety nie tylko), a ja nie wiem jak powiązać \(\displaystyle{ l}\) z \(\displaystyle{ n}\) w jawny sposób (wydaje mi się że tu nie znajdziesz wzoru, ale mogę się mylić). Ja nie mam na razie pomysłu jak to dalej ruszyć