kwadrat liczby naturalnej

[theoldwest]

Założenia: \(\displaystyle{ a,n \in \mathbb{N_+}}\), mianownik niezerowy

Pokazać, że liczba \(\displaystyle{ \frac{-(n+1)a^{2n+1}+na^{2n+2}+an+a-n}{\sum_{k=0}^{n-1}(n-k)a^k(a^{2n-2k}-1)}}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

[Vax]

Na początku zauważmy, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}ia^{i-1} = \frac{na^{n+1}-(n+1)a^n+1}{(a-1)^2}}\)

Istotnie, wystarczy scałkować a następnie zróżniczkować po ,,a" lewą stronę.

Tak więc:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}(n-k)a^k(a^{2n-2k}-1) = \sum_{k=0}^{n-1}(n-k)a^{2n-k}-\sum_{k=0}^{n-1}(n-k)a^k = \\ \\ = a^{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}(n-k)a^{n-k-1}-n\sum_{k=0}^{n-1}a^k+a\sum_{k=0}^{n-1}ka^{k-1} = a^{n+1}\cdot \frac{na^{n+1}-(n+1)a^n+1}{(a-1)^2}-n\cdot \frac{a^n-1}{a-1}+a\cdot \frac{(n-1)a^n-na^{n-1}+1}{(a-1)^2} = \\ \\}\)

\(\displaystyle{ = \frac{na^{2n+2}-(n+1)a^{2n+1}+a^{n+1}-(a-1)(na^n-n)+(n-1)a^{n+1}-na^n+a}{(a-1)^2} = \frac{-(n+1)a^{2n+1}+na^{2n+2}+an+a-n}{(a-1)^2}}\)

Skąd dane wyrażenie wynosi \(\displaystyle{ (a-1)^2}\), więc istotnie jest kwadratem liczby naturalnej \(\displaystyle{ \mathbb{QED}}\).