część całkowita

[lewela1]

uzasadnij, że dla dowolnego rzeczywistego x i dowolnego naturalnego n zachodzi równość
\(\displaystyle{ \left[ x \right] + \left[ x+\frac{1}{n} \right] + \left[ x+\frac{2}{n} \right] +....+ \left[ x+\frac{n-1}{n} \right] = \left[ nx \right]}\)

potrzebuje pomocy w szacowaniu

[Qń]

329808.htm

Q.

[lewela1]

czy możecie to pociągnąć dalej bo ja naprawdę nie ruszam z miejsca

[Piotr Rutkowski]

Niech \(\displaystyle{ x-[x]={x}in mathbb[frac{k}{n},frac{k+1}{n})}\)

Wtedy z definicji prawa strona to \(\displaystyle{ n[x]+k}\)
Zauważ, że \(\displaystyle{ [x]=[x+\frac{n-k-1}{n}]=[x+\frac{n-k}{n}]-1}\) z definicji \(\displaystyle{ k}\) oraz \(\displaystyle{ \{x\}}\), zatem po lewej stronie masz \(\displaystyle{ n-k}\) wyrażeń równych \(\displaystyle{ [x]}\) oraz \(\displaystyle{ k}\) wyrażeń równych \(\displaystyle{ [x]+1}\), co da w sumie \(\displaystyle{ (n-k)[x]+k([x]+1)=n[x]+k}\).

[lewela1]

siedzę już nad tym kilka dni i nie mogę tego rozgryźć

skąd bierze się \(\displaystyle{ [frac{k}{n}, frac{k+1}{n})}\) ?
zresztą żadnej z linijek nie rozumiem
czy może mi ktoś powoli pomóc, krok po kroku co skąd

[Piotr Rutkowski]

To może spróbuję wyjaśnić opisowo bez symboli:
Najpierw bierzesz \(\displaystyle{ x}\) rzeczywiste, ale niewiele o nim wiesz. Rozbijasz \(\displaystyle{ x}\) na część całkowitą i część ułamkową (np. \(\displaystyle{ 3,57=3+0,57}\)). Część całkowitą łatwo opisujemy, ale część ułamkową musimy jakoś ograniczyć. W tym celu dzielimy odcinek \(\displaystyle{ <0.1)}\) (bo do tego odcinka należy część ułamkowa) na \(\displaystyle{ n}\) równych rozłącznych części. Oczywiście musi należeć do jednego z tych zbiorów, stąd \(\displaystyle{ <\frac{k}{n},\frac{k+1}{n})}\). Korzystając z tego zapisu patrzymy jak zachowuje się lewa strona uwzględniając w którym przedziale znajduje się \(\displaystyle{ \{x\}}\). Czy teraz jest wszystko jasne?

[lewela1]

teraz już wiem skąd ten przedział ale jeśli to możliwe to proszę dalej tak "łopatologicznie"

[Piotr Rutkowski]

Dalej po lewej stronie wiedząc w jakim przedziale znajduje sie \(\displaystyle{ \{x\}}\) możesz określić które z wyrażeń są \(\displaystyle{ \leq [x]+1}\), a które są pomiędzy \(\displaystyle{ [x]+1}\) i \(\displaystyle{ [x]+2}\). Wtedy wiesz ile wynoszą całości z tych liczb.